12.) sumn=2^infty(-3)^n+1 2^3-4 n

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou: . Esse problema está relacionado a séries infinitas, especificamente a séries geométricas. Vamos precisar entender como identificar a razão da série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro da soma para facilitar nosso trabalho. Temos (-3)^n+1 cdot 2^3-4n = (-3)^n+1 cdot 2^3 cdot 2^-4n = (-3)^n+1 cdot 8 cdot (12)^4n . Podemos reescrever isso da seguinte forma:

Passo 3

Agora, vamos simplificar ainda mais. Sabemos que (-3)^n+1 cdot 8 cdot (116)^n . Então, a expressão fica:
(-3) cdot (-3)^n cdot 8 cdot (116)^n = (-3) cdot 8 cdot [ (-3) cdot 116 ]^n
Podemos também reescrever como . Assim, temos:

Passo 4

Vamos simplificar os coeficientes constantes fora da soma. Multiplicando -24 cdot ( -316 )^n por , temos . Além disso, dentro dos colchetes, multiplicamos por , resultando em . Portanto, a expressão agora é:

Passo 5

Agora, nossa soma original fica:
sumn=2^infty (-3)^n+1 cdot 2^3-4n = -24 cdot sumn=2^infty ( -316 )^n
Reconhecemos que isso é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum .

Passo 6

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita, quando S = a1 - r , é:
sumn=0^infty ( -316 )^n = 11 - ( -316 ) = 11 + 316 = 1619
onde é o primeiro termo da série e é a razão comum.
No nosso caso, a série começa em , então precisamos ajustar a fórmula. Vamos reescrever a soma a partir de :

Passo 7

Mas como nossa soma começa em sumn=2^infty ( -316 )^n = sumn=0^infty ( -316 )^n - ( -316 )^0 - ( -316 )^1 , precisamos subtrair os dois primeiros termos ( sumn=0^infty ( -316 )^n = 1619 e ( -316 )^0 = 1 ) da soma total:
( -316 )^1 = -316
Calculando cada parte:
sumn=2^infty ( -316 )^n = 1619 - 1 - ( -316 ) = 1619 - 1 + 316 = -319 + 316 = -48 + 57304 = 9304
Então:

Resposta

A soma da série infinita é .

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