12.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você enviou:
. Esse problema está relacionado a séries infinitas, especificamente a séries geométricas. Vamos precisar entender como identificar a razão da série e aplicar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar um pouco a expressão dentro da soma para facilitar nosso trabalho. Temos
. Podemos reescrever isso da seguinte forma:
Passo 3
Agora, vamos simplificar ainda mais. Sabemos que
. Então, a expressão fica:
Podemos também reescrever
como
. Assim, temos:
Passo 4
Vamos simplificar os coeficientes constantes fora da soma. Multiplicando
por
, temos
. Além disso, dentro dos colchetes, multiplicamos
por
, resultando em
. Portanto, a expressão agora é:
Passo 5
Agora, nossa soma original fica:
Reconhecemos que isso é uma série geométrica, onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma razão comum
.
Passo 6
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita, quando
, é:
onde
é o primeiro termo da série e
é a razão comum.
No nosso caso, a série começa em
, então precisamos ajustar a fórmula. Vamos reescrever a soma a partir de
:
Passo 7
Mas como nossa soma começa em
, precisamos subtrair os dois primeiros termos (
e
) da soma total:
Calculando cada parte:
Então:
Resposta
A soma da série infinita
é
.