15.) sumk=1^infty 3^-2 k(-6)^4-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma infinita . Aqui, estamos lidando com séries infinitas, mais especificamente com séries geométricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular as potências e simplificar a expressão para identificar a razão da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a visualização:
sumk=1^infty 3^-2k(-6)^4-k = sumk=1^infty 13^2k cdot (-6)^4-k

Passo 3

Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que:
(-6)^4 - k = (-6)^4 cdot (-6)^-k
Calculando (-6)^4 = 1296 :
sumk=1^infty 13^2k cdot 1296 cdot (-16)^k = 11296 sumk=1^infty 13^2k cdot (-16)^k
E pode ser escrito como . Então, a expressão fica:

Passo 4

Vamos simplificar ainda mais. Sabemos que 13^2k cdot (-16)^k = 19^k cdot (-16)^k = 1(9 cdot (-16))^k = 1(-32)^k = (-23)^k . Então:
11296 sumk=1^infty (-23)^k
Agora a soma fica:

Passo 5

Reconhecemos que temos uma série geométrica da forma sumk=1^infty r^k = r1 - r , onde sumk=1^infty (-23)^k = -231 - (-23) = -231 + 23 = -2353 = -25 . Para que a série converja, o valor absoluto de deve ser menor que 1, o que é verdade aqui ( ).
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Aplicando isso:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado da soma de volta na expressão original:
11296 cdot (-25) = -21296 cdot 5 = -26480 = -13240

Resposta

-dfrac13240

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