15.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a soma infinita
. Aqui, estamos lidando com séries infinitas, mais especificamente com séries geométricas. Para resolver isso, vamos precisar manipular as potências e simplificar a expressão para identificar a razão da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a visualização:
Passo 3
Agora, vamos simplificar o denominador. Sabemos que:
Calculando
:
E
pode ser escrito como
. Então, a expressão fica:
Passo 4
Vamos simplificar ainda mais. Sabemos que
. Então:
Agora a soma fica:
Passo 5
Reconhecemos que temos uma série geométrica da forma
, onde
. Para que a série converja, o valor absoluto de
deve ser menor que 1, o que é verdade aqui (
).
A soma de uma série geométrica infinita é dada por:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado da soma de volta na expressão original: