Calcule as integrais.
e) integral0^2 integral0^pi / 2 x sen(y) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral dupla . Esse exercício faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente de integrais duplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis e aplicar as propriedades das integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro, vamos integrar em relação a integral0^pi / 2 x sin(y) , dy . Isso significa que vamos tratar x integral0^pi / 2 sin(y) , dy como uma constante enquanto integramos com respeito a . A integral interna é:
Como é constante em relação a , podemos tirá-lo da integral:

Passo 3

Agora, vamos integrar integral sin(y) , dy = -cos(y) + C com respeito a -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1 . A antiderivada de x times 1 = x é , então:
Aplicando os limites de integração de a :
Portanto, a integral interna fica:

Passo 4

Agora que resolvemos a integral interna, restou calcular a integral externa em relação a integral0^2 x , dx :
x^22|0^2 = 2^22 - 0^22 = 42 - 0 = 2
A antiderivada de é , então:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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