z = x^2 * y + 3 * x * y^4, x = sen(2 * t) e y = cos(t) determine dz/dt(0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função , onde e . O objetivo é encontrar a derivada de em relação a quando , ou seja, . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia da derivada, que nos ajuda a diferenciar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como depende de e . A função é uma combinação de e , então para encontrar , precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 3

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial de em relação a :
Essas derivadas nos dizem como muda quando apenas ou mudam.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de e em relação a . Sabemos que:
Essas derivadas são necessárias para aplicar a regra da cadeia.

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia para encontrar :
Isso significa que multiplicamos cada derivada parcial de pelas respectivas derivadas de e .

Passo 6

Agora, vamos avaliar todas essas expressões em :
Substituindo esses valores nas derivadas parciais de :

Passo 7

Finalmente, substituindo tudo na expressão da regra da cadeia:

Resposta

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