Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular . Isso envolve números complexos e o processo de elevar um número complexo a uma potência. Para resolver, vamos usar a forma polar dos números complexos e aplicar o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar o número complexo da forma retangular (a + bi) para a forma polar , onde é o módulo e é o argumento do número complexo.

Passo 3

Calculando o módulo :

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento :
á

Passo 5

Com o módulo e o argumento encontrados, podemos reescrever o número complexo na forma polar:

Passo 6

Agora, vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que nos diz que:
Aplicando isso ao nosso número complexo:

Passo 7

Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, o módulo elevado à potência:
Depois, o argumento multiplicado pela potência:
Como é equivalente a , podemos simplificar usando a periodicidade do seno e do cosseno:

Passo 8

Multiplicando o módulo simplificado pelo argumento simplificado:

Resposta

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