Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular
. Isso envolve números complexos e o processo de elevar um número complexo a uma potência. Para resolver, vamos usar a forma polar dos números complexos e aplicar o Teorema de De Moivre.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar o número complexo
da forma retangular (a + bi) para a forma polar
, onde
é o módulo e
é o argumento do número complexo.
Passo 3
Calculando o módulo
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar o argumento
:
Passo 5
Com o módulo e o argumento encontrados, podemos reescrever o número complexo na forma polar:
Passo 6
Agora, vamos aplicar o Teorema de De Moivre, que nos diz que:
Aplicando isso ao nosso número complexo:
Passo 7
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, o módulo elevado à potência:
Depois, o argumento multiplicado pela potência:
Como
é equivalente a
, podemos simplificar usando a periodicidade do seno e do cosseno:
Passo 8
Multiplicando o módulo simplificado pelo argumento simplificado:
Resposta
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,
e
.
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Calcule a integral
, onde
é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária.
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