Construa um diagrama de Venn em que seja possível observar os conjuntos , e .

Passo 1

Vamos lá! O exercício pede para a gente construir um diagrama de Venn que mostre os conjuntos dos Números Naturais ( ), Inteiros ( ), Racionais ( ), Irracionais ( ) e Reais ( ). Isso envolve entender como esses conjuntos se relacionam entre si na matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender cada conjunto:
  • Números Naturais ( ): São os números que usamos para contar, começando de 1, 2, 3, e assim por diante.
  • Números Inteiros ( ): Incluem todos os números naturais, seus opostos negativos e o zero. Ou seja, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
  • Números Racionais ( ): São números que podem ser escritos como frações , onde e são inteiros e não é zero. Isso inclui todos os inteiros e também frações como , , etc.
  • Números Irracionais ( ): São números que não podem ser expressos como frações de dois inteiros. Exemplos famosos são , , e .
  • Números Reais ( ): Abrangem todos os números racionais e irracionais. Basicamente, todos os pontos na reta numérica.

Passo 3

Agora, vamos montar o diagrama de Venn passo a passo:
  1. Desenhe um grande círculo que representa os Números Reais ( ), já que todos os outros conjuntos estão dentro dele.
  2. Dentro de , desenhe dois círculos que se sobrepõem parcialmente:
    • Um círculo para os Números Racionais ( ).
    • Outro para os Números Irracionais ( ).
    Esses dois conjuntos não se sobrepõem porque um número não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo.
  3. Dentro do círculo de , desenhe outro círculo menor para os Números Inteiros ( ), já que todos os inteiros são racionais.
  4. Dentro de , desenhe um círculo ainda menor para os Números Naturais ( ), pois todos os naturais são inteiros.

Passo 4

Resumindo a hierarquia dos conjuntos no diagrama:
Isso mostra que:
  • Todos os naturais são inteiros.
  • Todos os inteiros são racionais.
  • Todos os racionais e irracionais são reais.

Resposta

O diagrama de Venn consiste em um grande círculo representando os Números Reais ( ). Dentro dele, há dois círculos não sobrepostos: um para os Números Racionais ( ) e outro para os Irracionais ( ). Dentro de , há um círculo menor para os Inteiros ( ), e dentro de , um ainda menor para os Naturais ( ). Assim, todos os conjuntos estão corretamente aninhados e representados no diagrama.

Exercícios relacionados

Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
(a) e .
(b) .
© e .
(d) e .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) е .
(i) .
Calcule a integral , onde é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária.