Construa um diagrama de Venn em que seja possível observar os conjuntos
,
e
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício pede para a gente construir um diagrama de Venn que mostre os conjuntos dos Números Naturais (
), Inteiros (
), Racionais (
), Irracionais (
) e Reais (
). Isso envolve entender como esses conjuntos se relacionam entre si na matemática.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada conjunto:
-
Números Naturais (
): São os números que usamos para contar, começando de 1, 2, 3, e assim por diante. -
Números Inteiros (
): Incluem todos os números naturais, seus opostos negativos e o zero. Ou seja, …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … -
Números Racionais (
): São números que podem ser escritos como frações , onde e são inteiros e não é zero. Isso inclui todos os inteiros e também frações como , , etc. -
Números Irracionais (
): São números que não podem ser expressos como frações de dois inteiros. Exemplos famosos são , , e . -
Números Reais (
): Abrangem todos os números racionais e irracionais. Basicamente, todos os pontos na reta numérica.
Passo 3
Agora, vamos montar o diagrama de Venn passo a passo:
-
Desenhe um grande círculo que representa os Números Reais (
), já que todos os outros conjuntos estão dentro dele. -
Dentro de
, desenhe dois círculos que se sobrepõem parcialmente: - Um círculo para os Números Racionais (
). - Outro para os Números Irracionais (
).
Esses dois conjuntos não se sobrepõem porque um número não pode ser racional e irracional ao mesmo tempo. - Um círculo para os Números Racionais (
-
Dentro do círculo de
, desenhe outro círculo menor para os Números Inteiros ( ), já que todos os inteiros são racionais. -
Dentro de
, desenhe um círculo ainda menor para os Números Naturais ( ), pois todos os naturais são inteiros.
Passo 4
Resumindo a hierarquia dos conjuntos no diagrama:
Isso mostra que:
- Todos os naturais são inteiros.
- Todos os inteiros são racionais.
- Todos os racionais e irracionais são reais.
Resposta
O diagrama de Venn consiste em um grande círculo representando os Números Reais (
). Dentro dele, há dois círculos não sobrepostos: um para os Números Racionais (
) e outro para os Irracionais (
). Dentro de
, há um círculo menor para os Inteiros (
), e dentro de
, um ainda menor para os Naturais (
). Assim, todos os conjuntos estão corretamente aninhados e representados no diagrama.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Sejam
e
conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
(a) e
.
(b) .
© e
.
(d) e
.
(e) .
(f) .
(g) .
(h) е
.
(i) .
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
Calcule a integral
, onde
é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária.