Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Vamos precisar usar trigonometria para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos a parte da integral que se encaixa em uma identidade trigonométrica. Aqui, temos
, que se parece com
. Para esse tipo de expressão, usamos a substituição
. No nosso caso,
porque
. Então, fazemos:
Passo 3
Agora, precisamos achar
em termos de
. Derivando ambos os lados da substituição:
Além disso, substituímos
:
Passo 4
Substituindo tudo de volta na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando que
e
, podemos reescrever a integral:
Passo 6
Sabemos que
. Então:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que fizemos
, então:
Além disso, usando identidades trigonométricas, podemos expressar
em termos de
:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão de
: