Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Vamos precisar usar trigonometria para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte da integral que se encaixa em uma identidade trigonométrica. Aqui, temos , que se parece com . Para esse tipo de expressão, usamos a substituição . No nosso caso, porque . Então, fazemos:

Passo 3

Agora, precisamos achar em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:
Além disso, substituímos :

Passo 4

Substituindo tudo de volta na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Lembrando que e , podemos reescrever a integral:

Passo 6

Sabemos que . Então:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
Além disso, usando identidades trigonométricas, podemos expressar em termos de :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de :

Resposta

Exercícios relacionados

Sejam e conjuntos. Para cada um dos seguintes teoremas enuncie em português a hipótese e a tese. Prove cada teorema.
(a) e .
(b) .
© e .
(d) e .
(e) .
(f) .
(g) .
(h) е .
(i) .
Calcule as integrais (Leithold páginas 541 e 545)
Construa um diagrama de Venn em que seja possível observar os conjuntos , e .