Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Vamos precisar usar trigonometria para simplificar a expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, identificamos a parte da integral que se encaixa em uma identidade trigonométrica. Aqui, temos , que se parece com . Para esse tipo de expressão, usamos a substituição . No nosso caso, porque . Então, fazemos:
Passo 3
Agora, precisamos achar em termos de . Derivando ambos os lados da substituição:
Além disso, substituímos :
Passo 4
Substituindo tudo de volta na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Lembrando que e , podemos reescrever a integral:
Passo 6
Sabemos que . Então:
Passo 7
Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que fizemos , então:
Além disso, usando identidades trigonométricas, podemos expressar em termos de :