Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
I=integral d xx raizx^2+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A questão pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Vamos precisar usar trigonometria para simplificar a expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, identificamos a parte da integral que se encaixa em uma identidade trigonométrica. Aqui, temos x = 2 tan theta , que se parece com . Para esse tipo de expressão, usamos a substituição . No nosso caso, porque . Então, fazemos:

Passo 3

Agora, precisamos achar dx = 2 sec^2 theta , dtheta em termos de raizx^2 + 4 = raiz4 tan^2 theta + 4 = raiz4 (tan^2 theta + 1) = raiz4 sec^2 theta = 2 sec theta . Derivando ambos os lados da substituição:
Além disso, substituímos :

Passo 4

Substituindo tudo de volta na integral original:
I = integral dxx raizx^2+4 = integral 2 sec^2 theta , dtheta2 tan theta cdot 2 sec theta = integral 2 sec^2 theta4 tan theta sec theta , dtheta = integral sec theta2 tan theta , dtheta
Simplificando:
I = 12 integral sec thetatan theta , dtheta

Passo 5

Lembrando que 12 integral 1cos thetasin thetacos theta , dtheta = 12 integral 1sin theta , dtheta = 12 integral csc theta , dtheta e , podemos reescrever a integral:

Passo 6

Sabemos que I = 12 ln |tan (theta/2)| + C . Então:

Passo 7

Agora, precisamos voltar para a variável original tan theta = x2 implies theta = tan^-1 ( x2 ) . Lembrando que fizemos tan ( theta2 ) = sin theta1 + cos theta = xraizx^2+41 + 2raizx^2+4 = xraizx^2+4 + 2 , então:
Além disso, usando identidades trigonométricas, podemos expressar em termos de :

Passo 8

Substituindo de volta na expressão de I = 12 ln | xraizx^2+4 + 2 | + C :

Resposta

I = 12 ln | xraizx^2+4 + 2 | + C

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