Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
I=integral d x(5-4 x-x^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
I = integral dx(5 - 4x - x^2)^3/2
Vamos utilizar substituição trigonométrica, que é uma técnica usada para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para isso, precisamos completar o quadrado na expressão do denominador e então aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão quadrática do denominador: 5 - 4x - x^2 = -x^2 - 4x + 5 .
Reescrevendo:
= -(x^2 + 4x) + 5
Fatorando o coeficiente de x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4 :
- ( (x + 2)^2 - 4 ) + 5 = -(x + 2)^2 + 9
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
5 - 4x - x^2 = 9 - (x + 2)^2
Substituindo de volta:
Portanto:

Passo 3

Agora, a integral fica:
I = integral dx(9 - (x + 2)^2)^3/2
Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos fazer a seguinte mudança de variável:
x + 2 = 3 sin theta
Dessa forma, a expressão dentro da raiz quadrada fica:
9 - (3 sin theta)^2 = 9 (1 - sin^2 theta) = 9 cos^2 theta
E o diferencial dx = 3 cos theta , dtheta é:

Passo 4

Substituindo na integral:
I = integral 3 cos theta , dtheta(9 cos^2 theta)^3/2 = integral 3 cos theta , dtheta27 cos^3 theta
Simplificando:
I = integral 327 cdot 1cos^2 theta , dtheta = 19 integral sec^2 theta , dtheta
Sabemos que a integral de I = 19 tan theta + C é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original x + 2 = 3 sin theta Rightarrow sin theta = x + 23 . Lembrando que:
tan theta = sin thetacos theta = x + 23raiz1 - (x + 23)^2 = x + 2raiz9 - (x + 2)^2 = x + 2raiz5 - 4x - x^2
E:

Resposta

Portanto, a integral é:
I = 19 cdot x + 2raiz5 - 4x - x^2 + C

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