Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Vamos utilizar substituição trigonométrica, que é uma técnica usada para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para isso, precisamos completar o quadrado na expressão do denominador e então aplicar a substituição adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão quadrática do denominador:
.
Reescrevendo:
Fatorando o coeficiente de
:
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Portanto:
Passo 3
Agora, a integral fica:
Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos fazer a seguinte mudança de variável:
Dessa forma, a expressão dentro da raiz quadrada fica:
E o diferencial
é:
Passo 4
Substituindo na integral:
Simplificando:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, precisamos voltar para a variável original
. Lembrando que:
E:
Resposta
Portanto, a integral é: