Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular a integral
Vamos utilizar substituição trigonométrica, que é uma técnica usada para integrar funções que envolvem raízes quadradas de expressões quadráticas. Para isso, precisamos completar o quadrado na expressão do denominador e então aplicar a substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos completar o quadrado na expressão quadrática do denominador: .
Reescrevendo:
Fatorando o coeficiente de :
Agora, completamos o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta:
Portanto:

Passo 3

Agora, a integral fica:
Para facilitar a substituição trigonométrica, vamos fazer a seguinte mudança de variável:
Dessa forma, a expressão dentro da raiz quadrada fica:
E o diferencial é:

Passo 4

Substituindo na integral:
Simplificando:
Sabemos que a integral de é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, precisamos voltar para a variável original . Lembrando que:
E:

Resposta

Portanto, a integral é:

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Calcule a integral , onde é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária.
Seja .
(a) Via calcule
(b) Pelo item (a) dessa questão e pela observação 9, deduza o valor da integral
© Obtenha os valores de
Descreva os seguintes conjuntos por meio de uma propriedade:
(a) ;
(b) ;
©
(d)
(e)