Calcule a integral , onde é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é calcular a integral de contorno , onde é a circunferência unitária centrada na origem, com orientação antihorária. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais no plano complexo, especialmente parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a circunferência unitária . Sabemos que qualquer ponto nessa circunferência pode ser representado por , onde varia de a . Essa é a parametrização padrão para uma circunferência unitária.

Passo 3

Com a parametrização , vamos calcular , que é o conjugado complexo de . O conjugado de é , então .

Passo 4

Agora, precisamos determinar , que é a derivada de em relação a . Derivando em relação a , temos:

Passo 5

Substituindo e na integral original, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, basta calcular a integral de em relação a de a :
Multiplicando pelo coeficiente :

Resposta

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Construa um diagrama de Venn em que seja possível observar os conjuntos , e .
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Seja .
(a) Via calcule
(b) Pelo item (a) dessa questão e pela observação 9, deduza o valor da integral
© Obtenha os valores de