Calcule a integral ointgamma barxi d xi, onde gamma é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é calcular a integral de contorno , onde é a circunferência unitária centrada na origem, com orientação antihorária. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais no plano complexo, especialmente parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a circunferência unitária . Sabemos que qualquer ponto nessa circunferência pode ser representado por , onde varia de a . Essa é a parametrização padrão para uma circunferência unitária.

Passo 3

Com a parametrização , vamos calcular , que é o conjugado complexo de . O conjugado de é , então .

Passo 4

Agora, precisamos determinar dxi = ddtheta e^itheta , dtheta = i e^itheta , dtheta , que é a derivada de em relação a . Derivando em relação a , temos:

Passo 5

Substituindo ointgamma xi , dxi = integral0^2pi e^-itheta cdot i e^itheta , dtheta e e^-itheta cdot e^itheta = e^0 = 1 na integral original, temos:
ointgamma xi , dxi = i integral0^2pi 1 , dtheta
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, basta calcular a integral de integral0^2pi 1 , dtheta = 2pi em relação a i cdot 2pi = 2pi i de a :
Multiplicando pelo coeficiente :

Resposta

ointgamma xi , dxi = 2pi i

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