Calcule a integral
, onde
é a circunferência unitária centrada em 0 , com orientação antihorária.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão é calcular a integral de contorno
, onde
é a circunferência unitária centrada na origem, com orientação antihorária. Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais no plano complexo, especialmente parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a circunferência unitária
. Sabemos que qualquer ponto nessa circunferência pode ser representado por
, onde
varia de
a
. Essa é a parametrização padrão para uma circunferência unitária.
Passo 3
Com a parametrização
, vamos calcular
, que é o conjugado complexo de
. O conjugado de
é
, então
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar
, que é a derivada de
em relação a
. Derivando
em relação a
, temos:
Passo 5
Substituindo
e
na integral original, temos:
Simplificando os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, basta calcular a integral de
em relação a
de
a
:
Multiplicando pelo coeficiente
:
Resposta
Exercícios relacionados
Construa um diagrama de Venn em que seja possível observar os conjuntos
,
e
.
Calcule as integrais por substituição trigonométrica (Leithold página 550)
Seja
.
(a) Via calcule
(a) Via
(b) Pelo item (a) dessa questão e pela observação 9,
deduza o valor da integral
© Obtenha os valores de