12a) , definida por , é a base canônica de e .
12b) definida por ,
12c) definida por ,
12d) , onde e .
12e) e é a base canônica de .
Passo 1
Vamos resolver o exercício 12a! Aqui, temos uma transformação linear definida por . A base de partida é a canônica de , ou seja, , e a base de chegada é . Vamos precisar construir a matriz de em relação a essas bases.
Passo 2
Primeiro, lembramos que para encontrar a matriz de em relação às bases e , precisamos ver como as imagens dos vetores da base se expressam na base . Ou seja, vamos aplicar aos vetores de e depois representar esses resultados como combinações lineares dos vetores de .
Passo 3
Aplicando ao primeiro vetor da base , que é :
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :
Passo 4
Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e :
Da primeira equação, temos c1 = 1. Da segunda, c3 = 12. Substituindo na terceira:
Com os coeficientes encontrados, a matriz de T em relação às bases alpha e beta será formada pelos vetores coluna correspondentes aos coeficientes das combinações lineares:
[T]alpha^beta = 1 & 3 0 & 0 12 & 2
Resposta
A matriz da transformação T em relação às bases alpha e beta é: