12a) , definida por ,
é a base canônica de e .
12b) definida por ,
12c) definida por ,
éô
12d) , onde e .
12e) e é a base canônica de .

Passo 1

Vamos resolver o exercício 12a! Aqui, temos uma transformação linear definida por . A base de partida é a canônica de , ou seja, , e a base de chegada é . Vamos precisar construir a matriz de em relação a essas bases.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para encontrar a matriz de em relação às bases e , precisamos ver como as imagens dos vetores da base se expressam na base . Ou seja, vamos aplicar aos vetores de e depois representar esses resultados como combinações lineares dos vetores de .

Passo 3

Aplicando ao primeiro vetor da base , que é :
Agora, queremos expressar como uma combinação linear dos vetores de :

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e :
Da primeira equação, temos . Da segunda, . Substituindo na terceira:
Então, .

Passo 5

Agora, aplicamos ao segundo vetor da base , que é :
Expressamos como combinação linear dos vetores de :

Passo 6

Montamos o sistema para , , :
Da segunda equação, . Da primeira, . Substituindo na terceira:
Então, .

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, a matriz de em relação às bases e será formada pelos vetores coluna correspondentes aos coeficientes das combinações lineares:

Resposta

A matriz da transformação em relação às bases e é:

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