12a) T: R^2 R^3, definida por T(x, y)=(x+3 y, x, x-y),
alpha é a base canônica de R^2 e beta=(1,0,-1),(0,0,1),(0,2,4).
12b) T: M2(R) R^3 definida por T(llx & y z & w)=(x, x-3 y+w, z-w),
alpha=(rr 1 & 0 -1 & 0 ),(rr 0 & 1 -1 & 0 ),(ll 0 & 0 1 & 0 ),(ll 0 & 0 0 & 1 ) e beta=(1,1,0),(0,1,0),(0,0,-2)
12c) T: P2(R) M2(R) definida por T(x t^2+y t+z)=(ccx & y z & x+y-z),
alpha=t+1, t+2, t^2 e beta é a base canônica de M2(R) éô
12d) T: V V, alpha=beta=v1, v2, v3, onde T(v1)=2 v1, T(v2)=-3 v2 e T(v3)=v3.
12e) T: R^3 R^3, T(v)=v, alpha=(1,2,0),(2,1,0),(0,0,1) e beta é a base canônica de R^3.

Passo 1

Vamos resolver o exercício 12a! Aqui, temos uma transformação linear T: R^2 R^3 definida por T(x, y) = (x + 3y, x, x - y). A base de partida alpha é a canônica de R^2, ou seja, (1,0), (0,1), e a base de chegada beta é (1,0,-1), (0,0,1), (0,2,4). Vamos precisar construir a matriz de T em relação a essas bases.

Passo 2

Primeiro, lembramos que para encontrar a matriz de T em relação às bases alpha e beta, precisamos ver como as imagens dos vetores da base alpha se expressam na base beta. Ou seja, vamos aplicar T aos vetores de alpha e depois representar esses resultados como combinações lineares dos vetores de beta.

Passo 3

Aplicando T ao primeiro vetor da base alpha, que é (1,0):
T(1, 0) = (1 + 3 cdot 0, 1, 1 - 0) = (1, 1, 1)
Agora, queremos expressar (1, 1, 1) como uma combinação linear dos vetores de beta:
(1, 1, 1) = c1(1,0,-1) + c2(0,0,1) + c3(0,2,4)

Passo 4

Vamos montar o sistema de equações para encontrar c1, c2 e c3:
1 = c1 1 = 2c3 1 = -c1 + c2 + 4c3
Da primeira equação, temos c1 = 1. Da segunda, c3 = 12. Substituindo na terceira:
1 = -1 + c2 + 4 cdot 12 Rightarrow 1 = -1 + c2 + 2 Rightarrow c2 = 0
Então, alpha(1) = (1,1,1) = 1(1,0,-1) + 0(0,0,1) + 12(0,2,4).

Passo 5

Agora, aplicamos T ao segundo vetor da base alpha, que é (0,1):
T(0, 1) = (0 + 3 cdot 1, 0, 0 - 1) = (3, 0, -1)
Expressamos (3, 0, -1) como combinação linear dos vetores de beta:
(3, 0, -1) = d1(1,0,-1) + d2(0,0,1) + d3(0,2,4)

Passo 6

Montamos o sistema para d1, d2, d3:
3 = d1 0 = 2d3 -1 = -d1 + d2 + 4d3
Da segunda equação, d3 = 0. Da primeira, d1 = 3. Substituindo na terceira:
-1 = -3 + d2 + 0 Rightarrow d2 = 2
Então, alpha(2) = (3,0,-1) = 3(1,0,-1) + 2(0,0,1) + 0(0,2,4).

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, a matriz de T em relação às bases alpha e beta será formada pelos vetores coluna correspondentes aos coeficientes das combinações lineares:
[T]alpha^beta = 1 & 3 0 & 0 12 & 2

Resposta

A matriz da transformação T em relação às bases alpha e beta é:
[T]alpha^beta = 1 & 3 0 & 0 12 & 2

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