Se definirmos em
as seguintes operações
e
. Verifique se
é um espaço vetorial. Que axiomas são violados? Quais são satisfeitos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o conjunto
com as operações definidas
e
é um espaço vetorial. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e seus axiomas. Para resolver, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar um por um se eles são atendidos ou não por esse conjunto com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de pertencer a um conjunto, satisfaz uma série de propriedades chamadas de axiomas. Esses axiomas envolvem como somamos vetores e como multiplicamos vetores por escalares (números reais, no caso).
Passo 3
Vamos listar os axiomas essenciais de um espaço vetorial:
- Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no espaço.
- Comutatividade da adição:
. - Associatividade da adição:
. - Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que
. - Elemento inverso da adição: Para cada vetor
, existe um vetor tal que . - Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor no espaço.
- Compatibilidade da multiplicação por escalares:
. - Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores:
. - Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares:
. - Elemento neutro da multiplicação:
.
Passo 4
Agora, vamos verificar cada axioma com as operações definidas na questão:
-
Fechamento da adição: Qualquer soma
está em . Então, satisfaz esse axioma. -
Comutatividade da adição:
. Satisfaz. -
Associatividade da adição:
e . Igual, então satisfaz. -
Elemento neutro da adição: O vetor
age como neutro, já que . Satisfaz. -
Elemento inverso da adição: Para qualquer
, existe tal que . Aqui, também é , então satisfaz. -
Fechamento da multiplicação por escalar: Qualquer múltiplo
está em . Satisfaz. -
Compatibilidade da multiplicação por escalares:
e . Igual, satisfaz. -
Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores:
e . Igual, satisfaz. -
Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares:
e . Igual, satisfaz. -
Elemento neutro da multiplicação:
, mas para ser um espaço vetorial, deveríamos ter . Aqui, a operação não satisfaz porque a menos que .
Resposta
O conjunto
com as operações definidas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, exceto o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar, onde
não é igual a
para vetores diferentes de
. Portanto,
não é um espaço vetorial porque viola o axioma que exige que multiplicar um vetor por 1 o deixe inalterado.