Se definirmos em as seguintes operações e . Verifique se é um espaço vetorial. Que axiomas são violados? Quais são satisfeitos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está perguntando se o conjunto com as operações definidas e é um espaço vetorial. A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre espaços vetoriais e seus axiomas. Para resolver, vamos precisar lembrar quais são os axiomas que definem um espaço vetorial e verificar um por um se eles são atendidos ou não por esse conjunto com as operações dadas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que, além de pertencer a um conjunto, satisfaz uma série de propriedades chamadas de axiomas. Esses axiomas envolvem como somamos vetores e como multiplicamos vetores por escalares (números reais, no caso).
Passo 3
Vamos listar os axiomas essenciais de um espaço vetorial:
Fechamento da adição: A soma de dois vetores está no espaço.
Comutatividade da adição: .
Associatividade da adição: .
Elemento neutro da adição: Existe um vetor zero tal que .
Elemento inverso da adição: Para cada vetor , existe um vetor tal que .
Fechamento da multiplicação por escalar: Multiplicar um vetor por um escalar resulta em um vetor no espaço.
Compatibilidade da multiplicação por escalares: .
Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores: .
Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares: .
Elemento neutro da multiplicação: .
Passo 4
Agora, vamos verificar cada axioma com as operações definidas na questão:
Fechamento da adição: Qualquer soma está em . Então, satisfaz esse axioma.
Comutatividade da adição: . Satisfaz.
Associatividade da adição: e . Igual, então satisfaz.
Elemento neutro da adição: O vetor age como neutro, já que . Satisfaz.
Elemento inverso da adição: Para qualquer , existe tal que . Aqui, também é , então satisfaz.
Fechamento da multiplicação por escalar: Qualquer múltiplo está em . Satisfaz.
Compatibilidade da multiplicação por escalares: e . Igual, satisfaz.
Distributividade da multiplicação em relação à adição de vetores: e . Igual, satisfaz.
Distributividade da multiplicação em relação à adição de escalares: e . Igual, satisfaz.
Elemento neutro da multiplicação: , mas para ser um espaço vetorial, deveríamos ter . Aqui, a operação não satisfaz porque a menos que .
Resposta
O conjunto com as operações definidas satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial, exceto o axioma do elemento neutro da multiplicação por escalar, onde não é igual a para vetores diferentes de . Portanto, não é um espaço vetorial porque viola o axioma que exige que multiplicar um vetor por 1 o deixe inalterado.