Identifique as seguintes curvas de segundo grau: 4 x^2-24 x y+11 y^2+56 x-58 y+95=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação do segundo grau:
4x^2 - 24xy + 11y^2 + 56x - 58y + 95 = 0
Nosso objetivo aqui é identificar que tipo de curva essa equação representa. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as curvas cônicas, que incluem elipses, hipérboles e parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação geral do segundo grau tem a forma:
Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
Comparando com a nossa equação, temos:

Passo 3

Para identificar o tipo de curva, vamos calcular o discriminante da equação, que é dado por:
De
Esse valor nos ajuda a determinar se a curva é uma elipse, hipérbole ou parábola.

Passo 4

Vamos calcular o discriminante:
De

Passo 5

Agora, analisamos o valor de :
  • Se , temos uma hipérbole.
  • Se , a curva é uma parábola.
  • Se , a curva é uma elipse (ou círculo, que é um caso especial de elipse).
Como no nosso caso, , isso indica que a curva é uma hipérbole.

Passo 6

Portanto, concluímos que a equação dada representa uma hipérbole.

Resposta

A equação representa uma hipérbole.

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