Discutir, em termos dos possíveis valores de
, as superfícies de segundo grau:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: a gente precisa analisar as superfícies de segundo grau definidas pela equação
, considerando diferentes valores de
. Isso está dentro do estudo das superfícies quadráticas na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como os coeficientes da equação determinam o tipo de superfície que estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do tipo de superfície. Observamos a presença do termo linear em
, então vamos completar o quadrado para
. A equação fica:
Vamos isolar os termos envolvendo
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Finalmente:
Passo 3
Agora que a equação está mais clara, vamos analisar o tipo de superfície dependendo do valor de
. As superfícies quadráticas podem ser classificadas principalmente em elipsoides, hiperboloides de uma ou duas folhas, paraboloides, entre outros. A chave está nos sinais e nos coeficientes dos termos quadráticos.
Passo 4
Vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos:
- O coeficiente de
é (positivo). - O coeficiente de
é . - O coeficiente de
é .
Dependendo do sinal de
, esses coeficientes vão determinar o tipo de superfície:
-
Se
: -
e são negativos. - Temos uma combinação de sinais diferentes nos termos quadráticos, indicando que a superfície é um Hiperbolóide de Uma Folha.
-
-
Se
: -
e se tornam positivos. - Todos os termos quadráticos são positivos, o que caracteriza um Elipsoide.
-
-
Se
: - A equação se simplifica para
, que representa um Paraboloide.
- A equação se simplifica para
Resposta
Dependendo do valor de
, a equação
representa:
- Um Hiperbolóide de Uma Folha quando
, - Um Elipsoide quando
, - Um Paraboloide quando
.