Discutir, em termos dos possíveis valores de , as superfícies de segundo grau:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema: a gente precisa analisar as superfícies de segundo grau definidas pela equação , considerando diferentes valores de . Isso está dentro do estudo das superfícies quadráticas na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como os coeficientes da equação determinam o tipo de superfície que estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do tipo de superfície. Observamos a presença do termo linear em , então vamos completar o quadrado para . A equação fica:
Vamos isolar os termos envolvendo :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Finalmente:
Passo 3
Agora que a equação está mais clara, vamos analisar o tipo de superfície dependendo do valor de . As superfícies quadráticas podem ser classificadas principalmente em elipsoides, hiperboloides de uma ou duas folhas, paraboloides, entre outros. A chave está nos sinais e nos coeficientes dos termos quadráticos.
Passo 4
Vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos:
O coeficiente de é (positivo).
O coeficiente de é .
O coeficiente de é .
Dependendo do sinal de , esses coeficientes vão determinar o tipo de superfície:
Se :
e são negativos.
Temos uma combinação de sinais diferentes nos termos quadráticos, indicando que a superfície é um Hiperbolóide de Uma Folha.
Se :
e se tornam positivos.
Todos os termos quadráticos são positivos, o que caracteriza um Elipsoide.
Se :
A equação se simplifica para , que representa um Paraboloide.