Discutir, em termos dos possíveis valores de lambda, as superfícies de segundo grau: x^2-lambda y^2-2 lambda z^2-2 y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: a gente precisa analisar as superfícies de segundo grau definidas pela equação , considerando diferentes valores de . Isso está dentro do estudo das superfícies quadráticas na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como os coeficientes da equação determinam o tipo de superfície que estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do tipo de superfície. Observamos a presença do termo linear em x^2 - lambda y^2 - 2 lambda z^2 - 2 y = 0 , então vamos completar o quadrado para x^2 - lambda y^2 - 2 y - 2 lambda z^2 = 0 . A equação fica:
-lambda y^2 - 2 y = -lambda ( y^2 + 2lambda y )
Vamos isolar os termos envolvendo y^2 + 2lambda y = ( y + 1lambda )^2 - 1lambda^2 :
x^2 - lambda ( ( y + 1lambda )^2 - 1lambda^2 ) - 2 lambda z^2 = 0
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em x^2 - lambda ( y + 1lambda )^2 + 1lambda - 2 lambda z^2 = 0 :
x^2 - lambda ( y + 1lambda )^2 - 2 lambda z^2 = -1lambda
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Finalmente:

Passo 3

Agora que a equação está mais clara, vamos analisar o tipo de superfície dependendo do valor de . As superfícies quadráticas podem ser classificadas principalmente em elipsoides, hiperboloides de uma ou duas folhas, paraboloides, entre outros. A chave está nos sinais e nos coeficientes dos termos quadráticos.

Passo 4

Vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos:
  • O coeficiente de é (positivo).
  • O coeficiente de é .
  • O coeficiente de é .
Dependendo do sinal de , esses coeficientes vão determinar o tipo de superfície:
  1. Se :
    • e são negativos.
    • Temos uma combinação de sinais diferentes nos termos quadráticos, indicando que a superfície é um Hiperbolóide de Uma Folha.
  2. Se :
    • e se tornam positivos.
    • Todos os termos quadráticos são positivos, o que caracteriza um Elipsoide.
  3. Se :
    • A equação se simplifica para , que representa um Paraboloide.

Resposta

Dependendo do valor de , a equação representa:
  • Um Hiperbolóide de Uma Folha quando ,
  • Um Elipsoide quando ,
  • Um Paraboloide quando .

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