Discutir, em termos dos possíveis valores de , as superfícies de segundo grau:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema: a gente precisa analisar as superfícies de segundo grau definidas pela equação , considerando diferentes valores de . Isso está dentro do estudo das superfícies quadráticas na geometria analítica. Para resolver isso, vamos precisar entender como os coeficientes da equação determinam o tipo de superfície que estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a identificação do tipo de superfície. Observamos a presença do termo linear em , então vamos completar o quadrado para . A equação fica:
Vamos isolar os termos envolvendo :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos em :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Finalmente:

Passo 3

Agora que a equação está mais clara, vamos analisar o tipo de superfície dependendo do valor de . As superfícies quadráticas podem ser classificadas principalmente em elipsoides, hiperboloides de uma ou duas folhas, paraboloides, entre outros. A chave está nos sinais e nos coeficientes dos termos quadráticos.

Passo 4

Vamos observar os coeficientes dos termos quadráticos:
  • O coeficiente de é (positivo).
  • O coeficiente de é .
  • O coeficiente de é .
Dependendo do sinal de , esses coeficientes vão determinar o tipo de superfície:
  1. Se :
    • e são negativos.
    • Temos uma combinação de sinais diferentes nos termos quadráticos, indicando que a superfície é um Hiperbolóide de Uma Folha.
  2. Se :
    • e se tornam positivos.
    • Todos os termos quadráticos são positivos, o que caracteriza um Elipsoide.
  3. Se :
    • A equação se simplifica para , que representa um Paraboloide.

Resposta

Dependendo do valor de , a equação representa:
  • Um Hiperbolóide de Uma Folha quando ,
  • Um Elipsoide quando ,
  • Um Paraboloide quando .

Exercícios relacionados

Se definirmos em as seguintes operações e . Verifique se é um espaço vetorial. Que axiomas são violados? Quais são satisfeitos?
Uma reta é paralela à reta s: e passa pelo ponto .
Encontre o ângulo entre as retas e u:
12a) , definida por ,
é a base canônica de e .
12b) definida por ,
12c) definida por ,
éô
12d) , onde e .
12e) e é a base canônica de .
Identifique as seguintes curvas de segundo grau: