Identifique as seguintes curvas de segundo grau:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar o tipo de curva de segundo grau representada pela equação . Aqui, estamos entrando no conteúdo de Cônicas, que abrange elipses, parábolas e hipérboles. Para resolver isso, precisamos analisar os coeficientes da equação geral de uma cônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral de uma cônica é . No nosso caso, a equação é . Vamos identificar os coeficientes:
  • (não temos )
  • (coeficiente de )
  • (não temos )
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (termo constante)

Passo 3

Agora, para identificar o tipo de cônica, usamos o discriminante, que é calculado pela fórmula . Esse valor nos ajuda a determinar se a curva é uma elipse, parábola ou hipérbole.

Passo 4

Vamos calcular o discriminante:

Passo 5

Interpretação do discriminante:
  • Se , a curva é uma hipérbole.
  • Se , a curva é uma parábola.
  • Se , a curva é uma elipse (ou círculo, se e ).
No nosso caso, , então a curva é uma hipérbole.

Resposta

A curva representada pela equação é uma hipérbole.

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12a) , definida por ,
é a base canônica de e .
12b) definida por ,
12c) definida por ,
éô
12d) , onde e .
12e) e é a base canônica de .
Discutir, em termos dos possíveis valores de , as superfícies de segundo grau:
onde e são bases de e , respectivamente. Determinar os valores de que satisfaz a condição de cada item abaixo.
18a) é injetora.
18b) é sobrejetora.
18c) .