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square
2^a Questão: (22 pontos) Seja f um função definida por:
f(x)=ccsen(4 x)sen(2 x) & , se x<0, x^2-2 x+a & , se x >= 0
a) (15 pontos) Determine o valor de a para a função f seja contínua em x=0.

Passo 1

Então, temos uma função definida por partes:
f(x) = sin(4x)sin(2x) & se x < 0, x^2 - 2x + a & se x >= 0
Queremos encontrar o valor de para que a função seja contínua em . Isso envolve entender o conceito de continuidade, que significa que os limites laterais da função em devem ser iguais ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite da função quando limx to 0^- f(x) = limx to 0^- sin(4x)sin(2x) se aproxima de 0 pela esquerda ( limx to 0 sin(kx)sin(mx) = km ):
limx to 0^- sin(4x)sin(2x) = 42 = 2
Usamos a propriedade de limites que diz:
Aplicando isso aqui:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite da função quando limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (x^2 - 2x + a) se aproxima de 0 pela direita ( f(0) = 0^2 - 2(0) + a = a ):
Como é uma função polinomial, o limite é simplesmente o valor da função em :

Passo 4

Para que a função seja contínua em limx to 0^- f(x) = f(0) , os limites devem ser iguais:
2 = a
Portanto, o valor de que garante a continuidade é 2.

Resposta

O valor de é .

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