Calcule integralC(x^2-y) d x+(x-y^2) d y, onde C é o segmento de reta de (1,1) a (3,5).

Passo 1

E aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular a integral de linha , onde é o segmento de reta que vai de até . Vamos usar cálculo de integrais de linha e parametrizar essa reta para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a reta x(t) = 1 + 2t e y(t) = 1 + 4t . Podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. Assim, definimos:
Isso porque, quando , temos e, quando , temos .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de dxdt = 2 Rightarrow dx = 2 , dt e dydt = 4 Rightarrow dy = 4 , dt em relação a para encontrar e :

Passo 4

Vamos substituir integral0^1 [ (x(t)^2 - y(t)) cdot 2 + (x(t) - y(t)^2) cdot 4 ] dt , , e na integral original:
Isso simplifica a integral para termos em .

Passo 5

Calculando x(t)^2 = (1 + 2t)^2 = 1 + 4t + 4t^2 :
x(t)^2 - y(t) = 1 + 4t + 4t^2 - (1 + 4t) = 4t^2

Passo 6

Calculando y(t)^2 = (1 + 4t)^2 = 1 + 8t + 16t^2 :
x(t) - y(t)^2 = 1 + 2t - (1 + 8t + 16t^2) = -6t - 16t^2

Passo 7

Substituindo de volta na integral:
integral0^1 [ 4t^2 cdot 2 + (-6t - 16t^2) cdot 4 ] dt = integral0^1 ( 8t^2 - 24t - 64t^2 ) dt = integral0^1 ( -56t^2 - 24t ) dt

Passo 8

Integrando termo a termo:
integral -56t^2 , dt = -56 cdot t^33
integral -24t , dt = -24 cdot t^22 = -12t^2
Então, a integral fica:
-563t^3 - 12t^2 g|0^1

Passo 9

Avaliando de -563(1)^3 - 12(1)^2 = -563 - 12 = -563 - 363 = -923 a :
Portanto, a integral vale .

Resposta

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