Sejam C1 e C2 duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
ointC1 x d x+y d yx^2+y^2=ointC2 x d x+y d yx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas curvas fechadas, ointC1 x , dx + y , dyx^2 + y^2 e ointC2 x , dx + y , dyx^2 + y^2 e , que englobam a origem e são orientadas no sentido anti-horário. O desafio é mostrar que as integrais de linha
são iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa integral de linha representa. A expressão
x , dx + y , dyx^2 + y^2
pode parecer complicada, mas podemos simplificá-la usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta e y = r sintheta
Onde é a distância da origem e é o ângulo.

Passo 3

Agora, vamos calcular dx = costheta , dr - r sintheta , dtheta e dy = sintheta , dr + r costheta , dtheta em termos de x , dx + y , dy = r costheta (costheta , dr - r sintheta , dtheta) + r sintheta (sintheta , dr + r costheta , dtheta) e x , dx + y , dy = r (cos^2theta + sin^2theta) , dr = r , dr :
Substituindo esses valores na expressão da integral, temos:
Simplificando:
Porque .

Passo 4

Agora, o denominador da nossa integral original é:
x^2 + y^2 = r^2
Então, a integral fica:
x , dx + y , dyx^2 + y^2 = r , drr^2 = drr

Passo 5

Nossa integral de linha agora é:
ointC drr
Onde pode ser qualquer uma das curvas ou . Essa integral representa a variação logarítmica de ao longo da curva fechada.

Passo 6

Para uma curva fechada que retorna ao ponto inicial, o valor de ointC drr = ln r |início^fim = ln r - ln r = 0 no início e no fim é o mesmo. Isso significa que a variação total de ao longo da curva é zero:
í

Passo 7

Portanto, tanto para ointC1 x , dx + y , dyx^2 + y^2 = 0 e ointC2 x , dx + y , dyx^2 + y^2 = 0 quanto para , temos:

Resposta

As duas integrais s��o iguais e valem zero:
ointC1 x , dx + y , dyx^2 + y^2 = ointC2 x , dx + y , dyx^2 + y^2 = 0

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