Sejam e duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas curvas fechadas, e , que englobam a origem e são orientadas no sentido anti-horário. O desafio é mostrar que as integrais de linha
são iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que essa integral de linha representa. A expressão
pode parecer complicada, mas podemos simplificá-la usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Onde é a distância da origem e é o ângulo.

Passo 3

Agora, vamos calcular e em termos de e :
Substituindo esses valores na expressão da integral, temos:
Simplificando:
Porque .

Passo 4

Agora, o denominador da nossa integral original é:
Então, a integral fica:

Passo 5

Nossa integral de linha agora é:
Onde pode ser qualquer uma das curvas ou . Essa integral representa a variação logarítmica de ao longo da curva fechada.

Passo 6

Para uma curva fechada que retorna ao ponto inicial, o valor de no início e no fim é o mesmo. Isso significa que a variação total de ao longo da curva é zero:
í

Passo 7

Portanto, tanto para quanto para , temos:

Resposta

As duas integrais s��o iguais e valem zero:

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Determine as derivadas parciais indicadas.
13:18
.11
5G

Questão: (22 pontos) Seja um função definida por:

a) (15 pontos) Determine o valor de para a função seja contínua em .
Seja . Calcule a integral de linha de em torno do perímetro do quadrado com vértices e , orientado no sentido anti-horário em torno do eixo .
Use o Teorema do Valor Médio para mostrar que a equação tem exactamente uma raiz real.