Sejam e duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas curvas fechadas, e , que englobam a origem e são orientadas no sentido anti-horário. O desafio é mostrar que as integrais de linha
são iguais. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais de linha e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que essa integral de linha representa. A expressão
pode parecer complicada, mas podemos simplificá-la usando coordenadas polares. Nas coordenadas polares, temos:
Onde é a distância da origem e é o ângulo.
Passo 3
Agora, vamos calcular e em termos de e :
Substituindo esses valores na expressão da integral, temos:
Simplificando:
Porque .
Passo 4
Agora, o denominador da nossa integral original é:
Então, a integral fica:
Passo 5
Nossa integral de linha agora é:
Onde pode ser qualquer uma das curvas ou . Essa integral representa a variação logarítmica de ao longo da curva fechada.
Passo 6
Para uma curva fechada que retorna ao ponto inicial, o valor de no início e no fim é o mesmo. Isso significa que a variação total de ao longo da curva é zero: