Determine as derivadas parciais indicadas.
f(x, y) = ln(x) + raiz(x^2 + y^2), f_x(3, 4)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar a derivada parcial dessa função em relação a no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é representada por . A função é composta por duas partes: e .
  1. Derivada de em relação a :
    A derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a :
    Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada é:
Somando as duas derivadas, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores e na expressão da derivada parcial que encontramos:
Calculando o denominador da segunda fração:
Substituindo esse valor:
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 15:

Resposta

A derivada parcial é .

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