Determine as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos encontrar a derivada parcial dessa função em relação a no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo diferencial, especificamente de derivadas parciais.

Passo 2

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que é representada por . A função é composta por duas partes: e .
  1. Derivada de em relação a :
    A derivada de em relação a é .
  2. Derivada de em relação a :
    Para derivar , usamos a regra da cadeia. A derivada é:
Somando as duas derivadas, temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores e na expressão da derivada parcial que encontramos:
Calculando o denominador da segunda fração:
Substituindo esse valor:
Para somar as frações, encontramos um denominador comum, que é 15:

Resposta

A derivada parcial é .

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Questão: (22 pontos) Seja um função definida por:

a) (15 pontos) Determine o valor de para a função seja contínua em .
Calcule , onde é o segmento de reta de a .
Sejam e duas curvas fechadas, simples que englobam a origem e que estão ambas orientadas no sentido anti-horário e que não se tocam ou intersectam. Mostre que
Seja . Calcule a integral de linha de em torno do perímetro do quadrado com vértices e , orientado no sentido anti-horário em torno do eixo .