13-20 Encontre a série de Táylor de centrada no valor dado de : [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Também encontre o raio de convergência associado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a série de Taylor da função centrada em . Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e séries de potências. Não se preocupe, vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função centrada em é dada por:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas de avaliadas em .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
  • Primeira derivada:
  • Segunda derivada:
  • Terceira derivada:
  • Quarta derivada:
  • Derivadas superiores:
    A partir da quinta derivada, todas serão zero, já que a função é um polinômio de quarto grau.

Passo 4

Agora, vamos avaliar cada derivada em :
  • Derivadas de ordem superior: 0

Passo 5

Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Simplificando:

Passo 6

Então, a série de Taylor de centrada em é:

Passo 7

Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Como é um polinômio de grau 4, a série termina em e não há termos de ordem superior. Isso significa que a série converge para toda a linha real, já que não há restrições de convergência além do próprio polinômio.

Resposta

A série de Taylor de centrada em é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, ela converge para todo real.

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