13-20 Encontre a série de Táylor de
centrada no valor dado de
: [Suponha que
tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que
Também encontre o raio de convergência associado.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a série de Taylor da função
centrada em
. Além disso, precisamos descobrir qual é o raio de convergência dessa série. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e séries de potências. Não se preocupe, vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Taylor de uma função
centrada em
é dada por:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas de
avaliadas em
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
-
Primeira derivada:
-
Segunda derivada:
-
Terceira derivada:
-
Quarta derivada:
-
Derivadas superiores:A partir da quinta derivada, todas serão zero, já que a função é um polinômio de quarto grau.
Passo 4
Agora, vamos avaliar cada derivada em
:
-
-
-
-
-
-
Derivadas de ordem superior: 0
Passo 5
Substituindo esses valores na fórmula da série de Taylor:
Simplificando:
Passo 6
Então, a série de Taylor de
centrada em
é:
Passo 7
Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Como
é um polinômio de grau 4, a série termina em
e não há termos de ordem superior. Isso significa que a série converge para toda a linha real, já que não há restrições de convergência além do próprio polinômio.
Resposta
A série de Taylor de
centrada em
é:
E o raio de convergência dessa série é infinito, ou seja, ela converge para todo
real.
Exercícios relacionados
Determine o ponto da reta de interseç̧ão dos planos
e
que esteja mais próximo da origem.
© Ao colocar
no seu resultado da parte (a), expresse
como a soma de uma série infinita.
Determine o valor máximo e mínimo de
na região do triângulo de vértices
e
.
Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função