Determine o ponto da reta de interseç̧ão dos planos x + y + z = 2 e x + 3y + 2z = 12 que esteja mais próximo da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto na reta de interseção dos dois planos e que está mais perto da origem. Vamos utilizar conceitos de geometria analítica e vetores para chegar nessa resposta.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a reta de interseção dos dois planos dados. Para isso, resolvemos o sistema de equações formado pelos planos:
Vamos eliminar uma variável para facilitar. Subtraindo a primeira equação da segunda:
Agora, expressamos em função de :
Vamos usar um parâmetro, digamos . Assim, temos:
Substituindo e na primeira equação para encontrar :
Portanto, a equação paramétrica da reta de interseção é:

Passo 3

Agora, queremos encontrar o ponto nessa reta que está mais próximo da origem . A distância entre a origem e um ponto é dada por:
Para minimizar a distância, podemos minimizar .
Substituindo as equações da reta:
Vamos expandir e simplificar:
Para encontrar o valor de que minimiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Resposta

O ponto na reta de interseção dos planos que está mais próximo da origem é:

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