Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre assíntotas, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função se torna zero, porque aí a função tende ao infinito ou menos infinito.
Então, vamos igualar o denominador a zero:
Resolvendo para :
Portanto, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem analisando o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo.
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar:
Para grandes valores de , o termo domina sobre o 1 dentro da raiz quadrada. Então, podemos aproximar:
Substituindo de volta na função:
Agora, vamos considerar dois casos:
  1. Quando tende ao infinito positivo ( ):
    Então,
    Portanto, a assíntota horizontal é .
  2. Quando tende ao infinito negativo ( ):
    Então,
    Portanto, a assíntota horizontal é .

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntotas horizontais: e

Exercícios relacionados

Determine o valor máximo e mínimo de na região do triângulo de vértices e .
13-20 Encontre a série de Táylor de centrada no valor dado de : [Suponha que tenha expansão em uma série de potências. Não mostre que Também encontre o raio de convergência associado.
Calcule as dimensões de um retângulo de área máxima inscrito em uma circunferência de raio 2.
Se , calcule ,