Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre assíntotas, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca.
Passo 2
Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função se torna zero, porque aí a função tende ao infinito ou menos infinito.
Então, vamos igualar o denominador a zero:
Resolvendo para
:
Portanto, temos uma assíntota vertical em
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem analisando o comportamento da função quando
tende ao infinito positivo ou negativo.
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar:
Para grandes valores de
, o termo
domina sobre o 1 dentro da raiz quadrada. Então, podemos aproximar:
Substituindo de volta na função:
Agora, vamos considerar dois casos:
-
Quando
tende ao infinito positivo ( ): Então,Portanto, a assíntota horizontal é. -
Quando
tende ao infinito negativo ( ): Então,Portanto, a assíntota horizontal é.
Resposta
As assíntotas da função são:
- Assíntota vertical:
- Assíntotas horizontais:
e