Determine as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função
f(x) = raiz(2 x^2 + 1) / (3 x - 5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as assíntotas horizontais e verticais do gráfico da função . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente sobre assíntotas, que são linhas que o gráfico da função se aproxima mas nunca toca.

Passo 2

Primeiro, vamos procurar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador da função se torna zero, porque aí a função tende ao infinito ou menos infinito.
Então, vamos igualar o denominador a zero:
Resolvendo para :
Portanto, temos uma assíntota vertical em .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas horizontais. Essas ocorrem analisando o comportamento da função quando tende ao infinito positivo ou negativo.
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar:
Para grandes valores de , o termo domina sobre o 1 dentro da raiz quadrada. Então, podemos aproximar:
Substituindo de volta na função:
Agora, vamos considerar dois casos:
  1. Quando tende ao infinito positivo ( ):
    Então,
    Portanto, a assíntota horizontal é .
  2. Quando tende ao infinito negativo ( ):
    Então,
    Portanto, a assíntota horizontal é .

Resposta

As assíntotas da função são:
  • Assíntota vertical:
  • Assíntotas horizontais: e

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