Determine o valor máximo e mínimo de na região do triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função dentro da região de um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e analisar os limites da região.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos críticos dentro da região. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a e são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Mas como nossa região está dentro do triângulo com vértices em , e , só consideramos e .

Passo 3

Agora temos um ponto crítico em . Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Esse é um candidato a mínimo ou máximo dentro da região.

Passo 4

Em seguida, precisamos verificar os valores da função nos limites da região, ou seja, nas bordas do triângulo. Vamos analisar cada um dos três lados:
  1. Lado de a :
    Aqui, . A função fica:
    Vamos encontrar os extremos dessa função no intervalo .
    Calculando a derivada:
    Igualando a zero:
    Considerando (dentro do intervalo):
    Também avaliamos nos extremos:
  2. Lado de a :
    Aqui, . A função fica:
    Derivada:
    Igualando a zero:
    Calculando:
    E nos extremos:
  3. Lado de a :
    Aqui, podemos parametrizar como . A função fica:
    Simplificando:
    Derivada:
    Igualando a zero:
    Calculando:
    E nos extremos:

Passo 5

Agora, vamos juntar todos os valores que encontramos:
  • Ponto interno:
  • Lados:
    • Lado : , ,
    • Lado : , ,
    • Lado : , ,

Resposta

O valor mínimo da função na região é , atingido no ponto , e o valor máximo é , atingido nos pontos e .

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