Determine o valor máximo e mínimo de
na região do triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
dentro da região de um triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente encontrar pontos críticos e analisar os limites da região.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos críticos dentro da região. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a
e
são iguais a zero. Então, vamos calcular essas derivadas.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos essas derivadas a zero:
Mas como nossa região está dentro do triângulo com vértices em
,
e
, só consideramos
e
.
Passo 3
Agora temos um ponto crítico em
. Vamos calcular o valor da função nesse ponto:
Esse é um candidato a mínimo ou máximo dentro da região.
Passo 4
Em seguida, precisamos verificar os valores da função nos limites da região, ou seja, nas bordas do triângulo. Vamos analisar cada um dos três lados:
-
Lado de
a :
Aqui,. A função fica: Vamos encontrar os extremos dessa função no intervalo. Calculando a derivada:Igualando a zero:Considerando(dentro do intervalo): Também avaliamos nos extremos: -
Lado de
a :
Aqui,. A função fica: Derivada:Igualando a zero:Calculando:E nos extremos: -
Lado de
a :
Aqui, podemos parametrizar como. A função fica: Simplificando:Derivada:Igualando a zero:Calculando:E nos extremos:
Passo 5
Agora, vamos juntar todos os valores que encontramos:
- Ponto interno:
- Lados:
- Lado
: , , - Lado
: , , - Lado
: , ,
- Lado
Resposta
O valor mínimo da função na região é
, atingido no ponto
, e o valor máximo é
, atingido nos pontos
e
.
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