& l d yd x=2 x-13 y^2-3 y(1)=0 & y^3-3 y-x^2+x=0 & y^2-2 y-x^2+x=0 & y^2-3 y+x^2+x=0 & y^3-2 y-x^2-x=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma equação diferencial e uma condição inicial:
dydx = 2x - 13y^2 - 3, y(1) = 0
Além disso, nos são apresentadas quatro opções de equações para escolher a solução correta:
Vamos precisar usar técnicas de resolução de equações diferenciais, especificamente a separação de variáveis, e aplicar a condição inicial para encontrar a constante de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis dydx = 2x - 13y^2 - 3 e (3y^2 - 3) , dy = (2x - 1) , dx para facilitar a integração. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Assim, temos de um lado e do outro, prontos para integrar.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral (3y^2 - 3) , dy = integral (2x - 1) , dx
Integrando o lado esquerdo:
integral 3y^2 , dy - integral 3 , dy = y^3 - 3y + C
Integrando o lado direito:
integral 2x , dx - integral 1 , dx = x^2 - x + C
Então, nossa equação integrada fica:
y^3 - 3y = x^2 - x + C

Passo 4

Vamos usar a condição inicial 0^3 - 3(0) = 1^2 - 1 + C 0 = 1 - 1 + C 0 = 0 + C C = 0 para encontrar o valor da constante y^3 - 3y = x^2 - x . Substituindo e na equação:
Portanto, a equação simplificada é:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para compará-la com as opções fornecidas:
y^3 - 3y - x^2 + x = 0
Agora, vamos verificar qual das opções corresponde a essa equação.

Resposta

A equação que corresponde é:
y^3 - 3y - x^2 + x = 0
Então, a resposta correta é a primeira opção.

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