Determine todos os campos vetoriais definidos em todo R^3 com contradomínio R^3 tais que sua matriz Jacobiana seja a matriz identidade de ordem 3.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar todos os campos vetoriais definidos em todo o espaço tridimensional R^3 que, quando calculamos a matriz Jacobiana deles, obtemos a matriz identidade de ordem 3.
Conteúdo envolvido:
  • Campos vetoriais: Funções que atribuem um vetor a cada ponto no espaço.
  • Matriz Jacobiana: Uma matriz que contém todas as derivadas parciais de um campo vetorial.
  • Matriz identidade: Uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições.
Vamos precisar entender como calcular a matriz Jacobiana de um campo vetorial e como ela se relaciona com a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é um campo vetorial em R^3. Geralmente, ele é representado por uma função F: R^3 -> R^3, que pode ser escrita como:
onde , e são funções que dão as componentes do vetor em cada ponto (x, y, z).

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a matriz Jacobiana de F. A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes de F em relação às variáveis x, y e z. Ela é dada por:

Passo 4

A questão nos diz que essa matriz Jacobiana deve ser a matriz identidade de ordem 3:
Isso significa que para cada componente do campo vetorial , as derivadas parciais são:
onde é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário.

Passo 5

Vamos analisar o que isso implica para cada componente :
  1. Para :
    Isso sugere que depende apenas de x e, ao integrar, temos:
    onde é uma constante.
  2. Para :
    Integrando, obtemos:
  3. Para :
    Integrando, temos:

Passo 6

Juntando tudo, o campo vetorial F fica:
Ou seja, podemos escrever de forma mais compacta:
onde e é um vetor constante.

Resposta

Todos os campos vetoriais definidos em R^3 com matriz Jacobiana igual à matriz identidade são da forma:
onde C é um vetor constante em R^3.

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26 sumn=1^infty 3 n+5n 2^n
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Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
(A) 85
(B) 100
© 175
(D) 200
(E) 350
& l d yd x=2 x-13 y^2-3 y(1)=0 & y^3-3 y-x^2+x=0 & y^2-2 y-x^2+x=0 & y^2-3 y+x^2+x=0 & y^3-2 y-x^2-x=0