Determine todos os campos vetoriais definidos em todo com contradomínio tais que sua matriz Jacobiana seja a matriz identidade de ordem 3.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar todos os campos vetoriais definidos em todo o espaço tridimensional que, quando calculamos a matriz Jacobiana deles, obtemos a matriz identidade de ordem 3.
Conteúdo envolvido:
Campos vetoriais: Funções que atribuem um vetor a cada ponto no espaço.
Matriz Jacobiana: Uma matriz que contém todas as derivadas parciais de um campo vetorial.
Matriz identidade: Uma matriz quadrada com 1’s na diagonal principal e 0’s nas outras posições.
Vamos precisar entender como calcular a matriz Jacobiana de um campo vetorial e como ela se relaciona com a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é um campo vetorial em . Geralmente, ele é representado por uma função , que pode ser escrita como:
onde , e são funções que dão as componentes do vetor em cada ponto (x, y, z).
Passo 3
Agora, vamos falar sobre a matriz Jacobiana de F. A Jacobiana é uma matriz que contém todas as derivadas parciais das componentes de F em relação às variáveis x, y e z. Ela é dada por:
Passo 4
A questão nos diz que essa matriz Jacobiana deve ser a matriz identidade de ordem 3:
Isso significa que para cada componente do campo vetorial , as derivadas parciais são:
onde é o delta de Kronecker, que é 1 quando e 0 caso contrário.
Passo 5
Vamos analisar o que isso implica para cada componente :
Para :
Isso sugere que depende apenas de x e, ao integrar, temos:
onde é uma constante.
Para :
Integrando, obtemos:
Para :
Integrando, temos:
Passo 6
Juntando tudo, o campo vetorial F fica:
Ou seja, podemos escrever de forma mais compacta:
onde e é um vetor constante.
Resposta
Todos os campos vetoriais definidos em R^3 com matriz Jacobiana igual à matriz identidade são da forma: