(2,0 pts) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial F(x, y) = y * z + 2 * i + x * z + 1 * j + x * y + 2 * z * k para mover uma partícula sobre a curva C arbitrária que liga o ponto (0, 0, 1) ao ponto 1,2,1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao mover uma partícula de um ponto (0, 0, 1) para outro ponto 1,2,1 ao longo de uma curva qualquer C. Isso está dentro do estudo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo trabalho realizado por campos vetoriais e integrais de linha. Vamos precisar entender se esse campo é conservativo para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial tal que . Uma maneira de verificar isso é calculando o rotacional de F e ver se é igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de F, que é dado por:
Calculando cada componente:
  • Para i:

    Portanto, $ \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} = x - x = 0 $
  • Para :
    vec(j)

    Portanto, $ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} = y - y = 0 $
  • Para :
    k
    Portanto, $ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = z - z = 0 $
Então, , o que significa que o campo é conservativo.

Passo 4

Como o campo F é conservativo, podemos encontrar uma função potencial tal que . Vamos encontrar phi integrando cada componente de F:
  • Integrando em relação a x:
  • Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos a para encontrar :

    Portanto, $ \frac{\partial g}{\partial y} = 1 $, integrando:
  • Finalmente, derivamos em relação a phi e igualamos a z para encontrar :

    Então, $ \frac{\partial h}{\partial z} = 2 z $, integrando:
Portanto, a função potencial é:

Passo 5

Com a função potencial encontrada, podemos calcular o trabalho realizado pelo campo F ao mover a partícula de (0, 0, 1) para 1,2,1 simplesmente calculando a diferença dos potenciais nos pontos finais:

Resposta

Calculando:
Então,
O trabalho realizado pelo campo vetorial é 6 unidades de trabalho.

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