(2,0 pts) Determine o trabalho realizado pelo campo vetorial
para mover uma partícula sobre a curva C arbitrária que liga o ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o trabalho realizado por um campo vetorial
ao mover uma partícula de um ponto
para outro ponto
ao longo de uma curva qualquer
. Isso está dentro do estudo de cálculo vetorial, especificamente envolvendo trabalho realizado por campos vetoriais e integrais de linha. Vamos precisar entender se esse campo é conservativo para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, precisamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Uma maneira de verificar isso é calculando o rotacional de
e ver se é igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
, que é dado por:
Calculando cada componente:
-
Para
:
Portanto, $ \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} = x - x = 0 $ -
Para
:
Portanto, $ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} = y - y = 0 $ -
Para
:
Portanto, $ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} = z - z = 0 $
Então,
, o que significa que o campo
é conservativo.
Passo 4
Como o campo
é conservativo, podemos encontrar uma função potencial
tal que
. Vamos encontrar
integrando cada componente de
:
-
Integrando
em relação a : -
Agora, derivamos
em relação a e igualamos a para encontrar :
Portanto, $ \frac{\partial g}{\partial y} = 1 $, integrando:
-
Finalmente, derivamos
em relação a e igualamos a para encontrar :
Então, $ \frac{\partial h}{\partial z} = 2 z $, integrando:
Portanto, a função potencial é:
Passo 5
Com a função potencial
encontrada, podemos calcular o trabalho realizado pelo campo
ao mover a partícula de
para
simplesmente calculando a diferença dos potenciais nos pontos finais:
Resposta
Calculando:
Então,
O trabalho realizado pelo campo vetorial é 6 unidades de trabalho.
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Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma regiáo plana de formato retangular, com lados de comprimentos
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metro. Os lados serăo cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento
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, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00 . O fazendeiro quer gastar, no máximo,
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Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
(A) 85
(B) 100
© 175
(D) 200
(E) 350
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
(A) 85
(B) 100
© 175
(D) 200
(E) 350
13.)
Justifique a continuidade das funções abaixo.
a) .
a)