13.) sumn=1^infty cos (n pi)n raizn

Passo 1

Então, temos a soma infinita . Nosso objetivo aqui é calcular o valor dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, especialmente aquelas que alternam sinais, e usar algumas propriedades trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o termo sumn=1^infty cos (n pi)n raizn = sumn=1^infty (-1)^nn^3/2 . Sabemos que oscila entre 1 e -1 conforme aumenta. Mais especificamente, . Isso significa que podemos reescrever a série da seguinte forma:

Passo 3

Agora, temos uma série alternada: . Uma série alternada é aquela em que os termos positivos e negativos se alternam. Para determinar se essa série converge, podemos aplicar o Teste da Série Alternada.

Passo 4

O Teste da Série Alternada afirma que a série converge se:
  1. é uma sequência positiva.
  2. é decrescente, ou seja, para todo .
  3. .
No nosso caso, .

Passo 5

Vamos verificar as condições:
  1. para todo .
  2. A sequência é decrescente porque, conforme aumenta, diminui.
  3. .
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.

Passo 6

Agora, para encontrar o valor da série, reconhecemos que ela está relacionada à função zeta de Riemann, que é definida por:
zeta(s) = sumn=1^infty 1n^s
Mas nossa série é alternada, então usamos a função eta de Dirichlet, definida por:
eta(s) = sumn=1^infty (-1)^n-1n^s
Note que nossa série é:
sumn=1^infty (-1)^nn^3/2 = -eta(32)

Passo 7

Sabemos que a função eta está relacionada à função zeta por:
eta(s) = (1 - 2^1-s) zeta(s)
Portanto:
eta(32) = (1 - 2^1 - 32) zeta(32) = (1 - 1raiz2) zeta(32)

Passo 8

Finalmente, substituindo de volta, temos:
sumn=1^infty (-1)^nn^3/2 = -(1 - 1raiz2) zeta(32)
Para obter um valor numérico aproximado, usamos a aproximação - (1 - 1raiz2) times 2.612 approx - (1 - 0.7071) times 2.612 approx - (0.2929 times 2.612) approx -0.764 . Então:

Resposta

A soma da série é aproximadamente .

Exercícios relacionados