13.)
Passo 1
Então, temos a soma infinita
. Nosso objetivo aqui é calcular o valor dessa série. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries infinitas, especialmente aquelas que alternam sinais, e usar algumas propriedades trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o termo
. Sabemos que
oscila entre 1 e -1 conforme
aumenta. Mais especificamente,
. Isso significa que podemos reescrever a série da seguinte forma:
Passo 3
Agora, temos uma série alternada:
. Uma série alternada é aquela em que os termos positivos e negativos se alternam. Para determinar se essa série converge, podemos aplicar o Teste da Série Alternada.
Passo 4
O Teste da Série Alternada afirma que a série
converge se:
-
é uma sequência positiva. -
é decrescente, ou seja, para todo . -
.
No nosso caso,
.
Passo 5
Vamos verificar as condições:
-
para todo . - A sequência
é decrescente porque, conforme aumenta, diminui. -
.
Como todas as condições são satisfeitas, a série converge.
Passo 6
Agora, para encontrar o valor da série, reconhecemos que ela está relacionada à função zeta de Riemann, que é definida por:
Mas nossa série é alternada, então usamos a função eta de Dirichlet, definida por:
Note que nossa série é:
Passo 7
Sabemos que a função eta está relacionada à função zeta por:
Portanto:
Passo 8
Finalmente, substituindo de volta, temos:
Para obter um valor numérico aproximado, usamos a aproximação
. Então:
Resposta
A soma da série é aproximadamente
.
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para mover uma partícula sobre a curva C arbitrária que liga o ponto
ao ponto
.
Justifique a continuidade das funções abaixo.
a) .
a)
Determine
domínio das seguintes funções reais: