Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma regiáo plana de formato retangular, com lados de comprimentos L metro e C metro. Os lados serăo cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento L metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa R, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00 . O fazendeiro quer gastar, no máximo, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possivel.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
(A) 85
(B) 100
© 175
(D) 200
(E) 350

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um fazendeiro que quer construir um galinheiro retangular com lados de comprimentos metros e metros. Ele vai cercar os lados com telas de preços diferentes: a tela para os lados de comprimento custa R$ 20,00 por metro, e a tela para os lados de comprimento custa R$ 15,00 por metro. O fazendeiro tem um orçamento máximo de R$ 6000,00 para comprar toda a tela e quer que a área do galinheiro seja a maior possível. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser o maior lado do galinheiro para maximizar essa área dentro do orçamento.
Vamos precisar usar conhecimentos de funções de custo, área de retângulos e otimização matemática para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular quanto o fazendeiro vai gastar com cada tipo de tela.
  • Lados de comprimento :
    • São 2 lados, e cada metro custa R$ 20,00.
    • Custo total: .
  • Lados de comprimento :
    • São 2 lados, e cada metro custa R$ 15,00.
    • Custo total: .
Então, o custo total das telas é:

Passo 3

Sabemos que o fazendeiro não quer gastar mais que R$ 6000,00. Então, temos a seguinte restrição:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 10:

Passo 4

Para facilitar os cálculos, vamos expressar em função de :

Passo 5

A área do galinheiro é dada por:
Substituindo na equação:

Passo 6

Agora, queremos maximizar a área . Para isso, vamos derivar em relação a e encontrar o valor de que faz a derivada igual a zero.
Derivada de :
Igualando a zero para encontrar o valor máximo:

Passo 7

Agora que temos metros, vamos encontrar usando a equação que relaciona e :

Resposta

A medida do maior lado do galinheiro é 100 metros.

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