Um fazendeiro pretende construir um galinheiro ocupando uma regiáo plana de formato retangular, com lados de comprimentos
metro e
metro. Os lados serăo cercados por telas de tipos diferentes. Nos lados de comprimento
metro, será utilizada uma tela cujo metro linear custa
, enquanto, nos outros dois lados, uma que custa R$ 15,00 . O fazendeiro quer gastar, no máximo,
na compra de toda a tela necessária para o galinheiro, e deseja que o galinheiro tenha a maior área possivel.
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
(A) 85
(B) 100
© 175
(D) 200
(E) 350
Qual será a medida, em metro, do maior lado do galinheiro?
(A) 85
(B) 100
© 175
(D) 200
(E) 350
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um fazendeiro que quer construir um galinheiro retangular com lados de comprimentos
metros e
metros. Ele vai cercar os lados com telas de preços diferentes: a tela para os lados de comprimento
custa R$ 20,00 por metro, e a tela para os lados de comprimento
custa R$ 15,00 por metro. O fazendeiro tem um orçamento máximo de R$ 6000,00 para comprar toda a tela e quer que a área do galinheiro seja a maior possível. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser o maior lado do galinheiro para maximizar essa área dentro do orçamento.
Vamos precisar usar conhecimentos de funções de custo, área de retângulos e otimização matemática para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular quanto o fazendeiro vai gastar com cada tipo de tela.
-
Lados de comprimento
: - São 2 lados, e cada metro custa R$ 20,00.
- Custo total:
.
-
Lados de comprimento
: - São 2 lados, e cada metro custa R$ 15,00.
- Custo total:
.
Então, o custo total
das telas é:
Passo 3
Sabemos que o fazendeiro não quer gastar mais que R$ 6000,00. Então, temos a seguinte restrição:
Vamos simplificar essa equação dividindo todos os termos por 10:
Passo 4
Para facilitar os cálculos, vamos expressar
em função de
:
Passo 5
A área
do galinheiro é dada por:
Substituindo
na equação:
Passo 6
Agora, queremos maximizar a área
. Para isso, vamos derivar
em relação a
e encontrar o valor de
que faz a derivada igual a zero.
Derivada de
:
Igualando a zero para encontrar o valor máximo:
Passo 7
Agora que temos
metros, vamos encontrar
usando a equação que relaciona
e
:
Resposta
A medida do maior lado do galinheiro é 100 metros.
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