13 O cometa Halley gira em torno do Sol com um período de 76 anos; em 1986, chegou à sua menor distância do Sol, a distância do periélio , que é . a) Qual a maior distância do cometa ao Sol, que é chamada de distância do afélio . b) Qual a excentricidade da órbita do cometa Halley? (Dado: ) Respostas: a) b)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem o cometa Halley que está girando ao redor do Sol com um período de 76 anos. Em 1986, ele estava na sua menor distância do Sol, chamada de periélio, que é metros. As perguntas são:
a) Qual é a maior distância do cometa ao Sol, chamada de afélio ( ).
b) Qual é a excentricidade da órbita do cometa Halley ( ).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de órbitas elípticas, especificamente as fórmulas que relacionam o periélio, afélio e excentricidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma órbita elíptica, a distância ao periélio ( ) e ao afélio ( ) estão relacionadas com a excentricidade ( ) da seguinte forma:
Onde é o semieixo maior da elipse. Mas como a gente já tem o , podemos usar essas relações para encontrar e .

Passo 3

Para encontrar o afélio ( ), podemos observar que a soma de e é igual a :
Mas como queremos apenas o , podemos usar a relação diretamente com a excentricidade. No caso, como já temos o , vamos focar em encontrar primeiro a excentricidade.

Passo 4

Vamos usar a segunda parte do exercício para encontrar a excentricidade ( ). Sabemos que:
Dividindo as duas equações:
Isolando :
Mas ainda precisamos de uma relação para resolver isso. Vamos usar a lei de Kepler, que relaciona o período orbital ( ) com o semieixo maior ( ):
Onde é a constante gravitacional e é a massa do Sol.

Passo 5

Vamos rearranjar a equação de Kepler para encontrar :
Sabemos que:
  • . Precisamos converter anos para segundos:
Substituindo esses valores na equação:
Vamos calcular:
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar :

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar a excentricidade ( ) usando :
Isolando :

Passo 7

Com a excentricidade ( ) encontrada, podemos calcular o afélio ( ) usando a fórmula:

Resposta

a)
b)

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