13 O cometa Halley gira em torno do Sol com um período de 76 anos; em 1986, chegou à sua menor distância do Sol, a distância do periélio Rp, que é 8,9 times 10^10 m. a) Qual a maior distância do cometa ao Sol, que é chamada de distância do afélio Ra. b) Qual a excentricidade da órbita do cometa Halley? (Dado: MS=1,99 times 1030 kg ) Respostas: a) Ra=5,3 times 10^12 m ; b) e=0,97

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem o cometa Halley que está girando ao redor do Sol com um período de 76 anos. Em 1986, ele estava na sua menor distância do Sol, chamada de periélio, que é metros. As perguntas são:
a) Qual é a maior distância do cometa ao Sol, chamada de afélio ( ).
b) Qual é a excentricidade da órbita do cometa Halley ( ).
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de órbitas elípticas, especificamente as fórmulas que relacionam o periélio, afélio e excentricidade. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em uma órbita elíptica, a distância ao periélio ( Rp = a(1 - e) ) e ao afélio ( Ra = a(1 + e) ) estão relacionadas com a excentricidade ( ) da seguinte forma:
Onde é o semieixo maior da elipse. Mas como a gente já tem o , podemos usar essas relações para encontrar e .

Passo 3

Para encontrar o afélio ( Rp + Ra = 2a ), podemos observar que a soma de e é igual a :
Mas como queremos apenas o , podemos usar a relação diretamente com a excentricidade. No caso, como já temos o , vamos focar em encontrar primeiro a excentricidade.

Passo 4

Vamos usar a segunda parte do exercício para encontrar a excentricidade ( Ra = a(1 + e) ). Sabemos que:
Rp = a(1 - e)
RaRp = a(1 + e)a(1 - e) = 1 + e1 - e
Dividindo as duas equações:
1 + e1 - e = RaRp
Isolando T^2 = 4pi^2 a^3G MS :
Mas ainda precisamos de uma relação para resolver isso. Vamos usar a lei de Kepler, que relaciona o período orbital ( ) com o semieixo maior ( ):
Onde é a constante gravitacional e é a massa do Sol.

Passo 5

Vamos rearranjar a equação de Kepler para encontrar a^3 = G MS T^24pi^2 :
T = 76 times 365,25 times 24 times 3600 approx 2,4 times 10^9 , s
Sabemos que:
  • a^3 = 6,67430 times 10^-11 times 1,99 times 10^30 times (2,4 times 10^9)^24pi^2
  • a^3 approx 6,67430 times 10^-11 times 1,99 times 10^30 times 5,76 times 10^1839,4784
  • a^3 approx 6,67430 times 1,99 times 5,7639,4784 times 10^-11+30+18 . Precisamos converter anos para segundos: a^3 approx 76,739,4784 times 10^37 approx 1,947 times 10^37 , m^3
Substituindo esses valores na equação:
a approx (1,947 times 10^37)^1/3 approx 2,7 times 10^12 , m
Vamos calcular:
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar :

Passo 6

Agora que temos 8,9 times 10^10 = 2,7 times 10^12 (1 - e) , podemos encontrar a excentricidade ( 1 - e = 8,9 times 10^102,7 times 10^12 approx 0,03296 ) usando e approx 1 - 0,03296 = 0,967 approx 0,97 :
Isolando :

Passo 7

Com a excentricidade ( Ra = a(1 + e) = 2,7 times 10^12 times (1 + 0,97) = 2,7 times 10^12 times 1,97 approx 5,3 times 10^12 , m ) encontrada, podemos calcular o afélio ( ) usando a fórmula:

Resposta

a)
b)

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