13 O cometa Halley gira em torno do Sol com um período de 76 anos; em 1986, chegou à sua menor distância do Sol, a distância do periélio
, que é
. a) Qual a maior distância do cometa ao Sol, que é chamada de distância do afélio
. b) Qual a excentricidade da órbita do cometa Halley? (Dado:
) Respostas: a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente tem o cometa Halley que está girando ao redor do Sol com um período de 76 anos. Em 1986, ele estava na sua menor distância do Sol, chamada de periélio, que é
metros. As perguntas são:
a) Qual é a maior distância do cometa ao Sol, chamada de afélio ( ).
b) Qual é a excentricidade da órbita do cometa Halley ( ).
a) Qual é a maior distância do cometa ao Sol, chamada de afélio (
b) Qual é a excentricidade da órbita do cometa Halley (
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de órbitas elípticas, especificamente as fórmulas que relacionam o periélio, afélio e excentricidade. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em uma órbita elíptica, a distância ao periélio (
) e ao afélio (
) estão relacionadas com a excentricidade (
) da seguinte forma:
Onde
é o semieixo maior da elipse. Mas como a gente já tem o
, podemos usar essas relações para encontrar
e
.
Passo 3
Para encontrar o afélio (
), podemos observar que a soma de
e
é igual a
:
Mas como queremos apenas o
, podemos usar a relação diretamente com a excentricidade. No caso, como já temos o
, vamos focar em encontrar primeiro a excentricidade.
Passo 4
Vamos usar a segunda parte do exercício para encontrar a excentricidade (
). Sabemos que:
Dividindo as duas equações:
Isolando
:
Mas ainda precisamos de uma relação para resolver isso. Vamos usar a lei de Kepler, que relaciona o período orbital (
) com o semieixo maior (
):
Onde
é a constante gravitacional e
é a massa do Sol.
Passo 5
Vamos rearranjar a equação de Kepler para encontrar
:
Sabemos que:
-
-
-
. Precisamos converter anos para segundos:
Substituindo esses valores na equação:
Vamos calcular:
Agora, tiramos a raiz cúbica para encontrar
:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar a excentricidade (
) usando
:
Isolando
:
Passo 7
Com a excentricidade (
) encontrada, podemos calcular o afélio (
) usando a fórmula:
Resposta
a)
b)