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Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função que é par, e sabemos que as integrais necessárias existem. O objetivo é provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser par e como isso afeta a integral dessa função ao longo de todo o eixo real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função é dita par se:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo . Por exemplo, é uma função par porque .

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral da função de a :
Como é uma função par, podemos usar a propriedade da simetria para simplificar essa integral.

Passo 4

Dividimos a integral em duas partes, de a e de a :

Passo 5

Agora, fazemos uma mudança de variável na primeira integral. Vamos substituir por , onde . Quando vai de a , vai de a . A derivada é igual a :

Passo 6

Como é par, sabemos que . Então, substituímos na integral:

Passo 7

Agora, juntamos as duas integrais:

Resposta

Portanto, demonstramos que:

Exercícios relacionados

Verifique a convergência das seguintes integrais:
q)
Considere o sólido (infinito) gerado, pela rotação, em torno do eixo , da região (infinita) sob a curva . Que número é adequado para ser o volume desse sólido.
Calcule os limites abaixo, se existirem:
k)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
v)