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Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
integral-infty^infty f(x) d x=2 integral0^infty f(x) d x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função integral-infty^infty f(x) , dx = 2 integral0^infty f(x) , dx que é par, e sabemos que as integrais necessárias existem. O objetivo é provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser par e como isso afeta a integral dessa função ao longo de todo o eixo real.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função f(-x) = f(x) para todo x é dita par se:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo . Por exemplo, é uma função par porque .

Passo 3

Agora, vamos considerar a integral da função integral-infty^infty f(x) , dx de a :
Como é uma função par, podemos usar a propriedade da simetria para simplificar essa integral.

Passo 4

Dividimos a integral em duas partes, de integral-infty^infty f(x) , dx = integral-infty^0 f(x) , dx + integral0^infty f(x) , dx a e de a :

Passo 5

Agora, fazemos uma mudança de variável na primeira integral. Vamos substituir integral-infty^0 f(x) , dx = integralinfty^0 f(-t) , (-dt) = integral0^infty f(-t) , dt por , onde . Quando vai de a , vai de a . A derivada é igual a :

Passo 6

Como integral0^infty f(-t) , dt = integral0^infty f(t) , dt é par, sabemos que . Então, substituímos na integral:

Passo 7

Agora, juntamos as duas integrais:
integral-infty^infty f(x) , dx = integral0^infty f(t) , dt + integral0^infty f(t) , dt = 2 integral0^infty f(t) , dt

Resposta

Portanto, demonstramos que:
integral-infty^infty f(x) , dx = 2 integral0^infty f(x) , dx

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