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Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos uma função
que é par, e sabemos que as integrais necessárias existem. O objetivo é provar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser par e como isso afeta a integral dessa função ao longo de todo o eixo real.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função par. Uma função
é dita par se:
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo
. Por exemplo,
é uma função par porque
.
Passo 3
Agora, vamos considerar a integral da função
de
a
:
Como
é uma função par, podemos usar a propriedade da simetria para simplificar essa integral.
Passo 4
Dividimos a integral em duas partes, de
a
e de
a
:
Passo 5
Agora, fazemos uma mudança de variável na primeira integral. Vamos substituir
por
, onde
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
. A derivada
é igual a
:
Passo 6
Como
é par, sabemos que
. Então, substituímos na integral:
Passo 7
Agora, juntamos as duas integrais:
Resposta
Portanto, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Verifique a convergência das seguintes integrais:
q)
q)
Considere o sólido (infinito) gerado, pela rotação, em torno do eixo
, da região (infinita) sob a curva
. Que número é adequado para ser o volume desse sólido.
Calcule os limites abaixo, se existirem:
k)
k)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
v)
v)