Considere o sólido (infinito) gerado, pela rotação, em torno do eixo
, da região (infinita) sob a curva
. Que número é adequado para ser o volume desse sólido.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região sob a curva
em torno do eixo
, para
. Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o método dos discos para volumes de revolução. Vamos precisar integrar a área de discos infinitamente pequenos ao longo do eixo
.
Passo 2
Para calcular o volume do sólido de rotação, usamos a fórmula do método dos discos:
No nosso caso, a função é
, e os limites de integração são de
até
, já que a região é infinita.
Passo 3
Substituímos a função na fórmula:
Aqui, elevamos
ao quadrado para obter
.
Passo 4
Agora, vamos resolver a integral:
A constante
pode ser ignorada porque vamos calcular um limite definido.
Passo 5
Aplicamos os limites de integração:
Primeiro, calculamos no infinito:
Depois, em
:
Passo 6
Subtraímos os resultados:
Resposta
O volume do sólido é
, o que é aproximadamente 0,2122 unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
4
Resolva as seguintes integrais:
a)
Resolva as seguintes integrais:
a)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
s)
s)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
q)
q)
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Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então: