Considere o sólido (infinito) gerado, pela rotação, em torno do eixo , da região (infinita) sob a curva . Que número é adequado para ser o volume desse sólido.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. A gente precisa encontrar o volume de um sólido gerado pela rotação da região sob a curva em torno do eixo , para . Isso envolve conceitos de cálculo, especificamente o método dos discos para volumes de revolução. Vamos precisar integrar a área de discos infinitamente pequenos ao longo do eixo .

Passo 2

Para calcular o volume do sólido de rotação, usamos a fórmula do método dos discos:
No nosso caso, a função é , e os limites de integração são de até , já que a região é infinita.

Passo 3

Substituímos a função na fórmula:
Aqui, elevamos ao quadrado para obter .

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral:
A constante pode ser ignorada porque vamos calcular um limite definido.

Passo 5

Aplicamos os limites de integração:
Primeiro, calculamos no infinito:
Depois, em :

Passo 6

Subtraímos os resultados:

Resposta

O volume do sólido é , o que é aproximadamente 0,2122 unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

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Resolva as seguintes integrais:
a)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
s)
Verifique a convergência das seguintes integrais:
q)
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Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então: