Calcule os limites abaixo, se existirem:
v)
v)
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com conceitos de limites no infinito e funções como a raiz quadrada e a função arco-tangente. Para resolver isso, vamos analisar como cada parte da expressão se comporta conforme
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar separadamente cada termo da expressão:
e . É importante entender o comportamento individual de cada função conforme
tende ao infinito para depois combinarmos os resultados.
Passo 3
Vamos ver como se comporta
quando
vai para o infinito. Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
Como
tende ao infinito,
fica muito pequeno, então:
Assim, temos:
Como
tende ao infinito,
, então:
Portanto, quando
tende ao infinito,
se comporta aproximadamente como
.
Passo 4
Agora, vamos analisar quando
vai para o infinito. A função arco-tangente é a inversa da tangente, e sabemos que:
Isso porque a tangente de
é infinita, então a arco-tangente de um número muito grande tende a
.
Passo 5
Vamos juntar as análises dos dois termos para calcular o limite completo:
Aqui, vemos que
tende ao infinito,
tende a zero, e
é uma constante. Então, a expressão se comporta como:
Porque
cresce sem limites e domina a expressão.
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo, se existirem:
k)
k)
13
Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
Mostre que :
a) .
a)
Resolva as seguintes integrais:
c)
c)