Calcule os limites abaixo, se existirem:
v) lim x infty(raizx^2+4-arctg x)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com conceitos de limites no infinito e funções como a raiz quadrada e a função arco-tangente. Para resolver isso, vamos analisar como cada parte da expressão se comporta conforme cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar separadamente cada termo da expressão: e . É importante entender o comportamento individual de cada função conforme tende ao infinito para depois combinarmos os resultados.

Passo 3

Vamos ver como se comporta raizx^2 + 4 = raizx^2(1 + 4x^2) = |x| raiz1 + 4x^2 quando raiz1 + 4x^2 approx 1 + 2x^2 vai para o infinito. Podemos simplificar a expressão dentro da raiz:
raizx^2 + 4 approx |x| (1 + 2x^2) = |x| + 2x
Como raizx^2 + 4 approx x + 2x tende ao infinito, fica muito pequeno, então:
Assim, temos:
Como tende ao infinito, , então:
Portanto, quando tende ao infinito, se comporta aproximadamente como .

Passo 4

Agora, vamos analisar quando limx to infty arctg x = pi2 vai para o infinito. A função arco-tangente é a inversa da tangente, e sabemos que:
Isso porque a tangente de é infinita, então a arco-tangente de um número muito grande tende a .

Passo 5

Vamos juntar as análises dos dois termos para calcular o limite completo:
Aqui, vemos que limx to infty (raizx^2 + 4 - arctg x) approx limx to infty (x + 2x - pi2) tende ao infinito, limx to infty (x - pi2) = infty tende a zero, e é uma constante. Então, a expressão se comporta como:
Porque cresce sem limites e domina a expressão.

Resposta

O limite é .

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