Verifique a convergência das seguintes integrais:
q)
q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a integral
converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada:
. Notamos que o numerador é uma função ímpar (
) e o denominador é uma função par (
termos). Isso significa que a função inteira é ímpar.
Passo 3
Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como
, é igual a zero, desde que a integral converja. Então, se mostrarmos que a integral converge, podemos concluir que ela é igual a zero.
Passo 4
Para verificar a convergência, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Simplificando a expressão:
Quando
tende ao infinito, a função se comporta como
.
Passo 5
A integral
converge porque o expoente de
no denominador é maior que 1. Ou seja, a função decai suficientemente rápido para garantir a convergência da integral.
Passo 6
Como a função original
é ímpar e a integral converge, podemos concluir que:
Resposta
A integral
converge e seu valor é igual a zero.
Exercícios relacionados
Considere o sólido (infinito) gerado, pela rotação, em torno do eixo
, da região (infinita) sob a curva
. Que número é adequado para ser o volume desse sólido.
4
Resolva as seguintes integrais:
a)
Resolva as seguintes integrais:
a)
13
Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
Calcule os limites abaixo, se existirem:
k)
k)