Verifique a convergência das seguintes integrais:
q) integral-infty^infty x(x^2+1)(x^2+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a integral converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e analisar o comportamento da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada: . Notamos que o numerador é uma função ímpar ( ) e o denominador é uma função par ( termos). Isso significa que a função inteira é ímpar.

Passo 3

Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como , é igual a zero, desde que a integral converja. Então, se mostrarmos que a integral converge, podemos concluir que ela é igual a zero.

Passo 4

Para verificar a convergência, analisamos o comportamento da função quando x(x^2+1)(x^2+2) approx xx^4 = 1x^3 tende ao infinito. Simplificando a expressão:
Quando tende ao infinito, a função se comporta como .

Passo 5

A integral converge porque o expoente de no denominador é maior que 1. Ou seja, a função decai suficientemente rápido para garantir a convergência da integral.

Passo 6

Como a função original é ímpar e a integral converge, podemos concluir que:

Resposta

A integral converge e seu valor é igual a zero.

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