Verifique a convergência das seguintes integrais:
q)
q)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a integral
converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo de integrais impróprias e analisar o comportamento da função quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a função que está sendo integrada:
. Notamos que o numerador é uma função ímpar (
) e o denominador é uma função par (
termos). Isso significa que a função inteira é ímpar.
Passo 3
Sabemos que a integral de uma função ímpar sobre um intervalo simétrico em torno de zero, como
, é igual a zero, desde que a integral converja. Então, se mostrarmos que a integral converge, podemos concluir que ela é igual a zero.
Passo 4
Para verificar a convergência, analisamos o comportamento da função quando
tende ao infinito. Simplificando a expressão:
Quando
tende ao infinito, a função se comporta como
.
Passo 5
A integral
converge porque o expoente de
no denominador é maior que 1. Ou seja, a função decai suficientemente rápido para garantir a convergência da integral.
Passo 6
Como a função original
é ímpar e a integral converge, podemos concluir que:
Resposta
A integral
converge e seu valor é igual a zero.