Calcule os limites abaixo, se existirem:
k)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão , onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número positivo elevado a 0 é igual a 1, ou seja, . Porém, queremos saber o comportamento dessas expressões quando está muito próximo de 0, não exatamente 0. Para isso, podemos aproximar , , e usando a expansão em série de Taylor para expoentes pequenos:

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
Simplificando:

Passo 4

Os termos no numerador e no denominador se cancelam:

Resposta

O limite é .

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Demonstre que:
a) Se f é par e as integrais necessárias existem, então:
Verifique a convergência das seguintes integrais:
q)
Calcule os limites abaixo, se existirem:
v)
Mostre que :
a) .