Calcule os limites abaixo, se existirem:
k) lim x 0 a^x-b^xc^x-d^x (a, b, c, d>0)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão , onde . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e propriedades das funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número positivo elevado a 0 é igual a 1, ou seja, a^x approx 1 + x ln a . Porém, queremos saber o comportamento dessas expressões quando b^x approx 1 + x ln b está muito próximo de 0, não exatamente 0. Para isso, podemos aproximar c^x approx 1 + x ln c , d^x approx 1 + x ln d , e usando a expansão em série de Taylor para expoentes pequenos:

Passo 3

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original do limite:
a^x - b^xc^x - d^x approx (1 + x ln a) - (1 + x ln b)(1 + x ln c) - (1 + x ln d)
Simplificando:
a^x - b^xc^x - d^x approx x (ln a - ln b)x (ln c - ln d)

Passo 4

Os termos x (ln a - ln b)x (ln c - ln d) = ln a - ln bln c - ln d no numerador e no denominador se cancelam:

Resposta

O limite é .

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