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Encontre equações do plano tangente e a reta normal no ponto na superfície dada:
(a) ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as equações do plano tangente e da reta normal no ponto na superfície dada pela equação . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente, o estudo de superfícies e como determinar planos tangentes e retas normais a elas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular o gradiente da função que define a superfície e usar isso para achar as equações solicitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a superfície que estamos lidando. A equação representa uma esfera com centro na origem e raio . O ponto dado é , que está sobre essa esfera porque .
Passo 3
Para encontrar o plano tangente à esfera nesse ponto, precisamos achar o vetor normal à superfície naquele ponto. Esse vetor normal é dado pelo gradiente da função que define a superfície. Vamos considerar a função . O gradiente de é:
No ponto , o gradiente é:
Passo 4
Com o vetor normal e o ponto , podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde e . Expandindo isso, temos:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente é .
Passo 5
Agora, para encontrar a reta normal à superfície no ponto , usamos o vetor normal como direção da reta. A equação paramétrica da reta normal é dada por: