1. f'(x) = cos(x) sech^2(sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado da questão nos dá a derivada de uma função, ou seja, . Nosso objetivo aqui é encontrar a função original f(x). Para isso, vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração e substituição. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos a derivada de uma função, podemos encontrar a função original fazendo a integração dessa derivada. Então, queremos calcular:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a integral usando uma técnica chamada substituição. Vamos identificar uma parte da função que podemos chamar de u para facilitar a integração. Observando a integral, vemos que sen x está dentro da função . Então, vamos definir:

Passo 4

Em seguida, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir na integral. Derivando u:
Isso é ótimo porque aparece exatamente na nossa integral original!

Passo 5

Agora, vamos substituir u e na integral:

Passo 6

A próxima etapa é integrar em relação a u. Sabemos que:
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, voltamos à variável original x substituindo na expressão que encontramos:

Resposta

A função original é dada por
onde C é a constante de integração.

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