Às 13 horas óleo começa a vazar de um tanque a uma taxa de litros por hora
Quanto óleo foi perdido das 13:00 às 16:00?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem um tanque que começa a vazar óleo às 13 horas, e a taxa de vazamento desse óleo é de litros por hora, onde t é o tempo que passou desde as 13 horas. A pergunta é: quanto óleo foi perdido das 13:00 às 16:00?
Para resolver isso, a gente vai usar um conceito de cálculo chamado integral, que ajuda a calcular a quantidade total de algo quando conhecemos a taxa de variação desse algo ao longo do tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo de tempo que estamos analisando. Das 13:00 às 16:00 são 3 horas. Então, t vai de 0 (às 13:00) até 3 (às 16:00).

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral da taxa de vazamento para encontrar o total de óleo perdido. A taxa de vazamento é dada por litros por hora, então a integral fica assim:
Ó

Passo 4

Vamos calcular a integral. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Integrando cada um:
Então, a integral completa fica:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração, de t = 0 até t = 3:
Calculando cada parte:
  • Para t = 3:
    • Total:
  • Para t = 0:
    • Ambos os termos são 0
    • Total:

Resposta

Foram perdidos 15,375 litros de óleo das 13:00 às 16:00.

Exercícios relacionados

Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
(a)
Às 13 horas óleo começa a vazar de um tanque a uma taxa de litros por hora
Quanto óleo foi perdido das 16:00 às 19:00?
Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.