Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas curvas dadas por
e
. A tarefa é desenhar (esboçar) a região que essas curvas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações de parábolas e cálculo de áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam. Isso vai nos dizer os limites dos valores de
que vamos usar para calcular a área. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação para encontrar os valores de
:
Então, as curvas se intersectam quando
e
.
Passo 4
Com esses valores de
, vamos identificar qual das duas curvas está à direita da outra no intervalo de
a
. Para isso, vamos escolher um valor de
dentro desse intervalo, por exemplo,
, e calcular os valores de
:
Para
:
Isso mostra que, quando
, a segunda curva (
) está à direita da primeira (
).
Passo 5
Agora, vamos entender o formato das curvas. Ambas são parábolas abertas ao longo do eixo
:
-
é uma parábola que se abre para a esquerda. -
também é uma parábola que se abre para a esquerda, mas com seu vértice deslocado para .
Vamos esboçar essas curvas no plano cartesiano para visualizar a região limitada entre elas.
Passo 6
Com as curvas esboçadas e sabendo que elas se intersectam em
e
, podemos configurar a integral para encontrar a área entre elas. A fórmula para a área entre duas curvas em relação a
é:
Onde
e
,
e
.
Passo 7
Vamos montar a integral utilizando os valores identificados:
Passo 8
Agora, vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 9
Agora, vamos calcular a diferença entre os valores obtidos:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
(a)
(a)
Resolva as integrais definidas abaixo
Às 13 horas óleo começa a vazar de um tanque a uma taxa de
litros por hora
Quanto óleo foi perdido das 13:00 às 16:00?
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Às 13 horas óleo começa a vazar de um tanque a uma taxa de
litros por hora
Quanto óleo foi perdido das 16:00 às 19:00?
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