Esboce a região delimitada pelas curvas indicadas e encontre sua área.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente tem duas curvas dadas por e . A tarefa é desenhar (esboçar) a região que essas curvas delimitam e calcular a área dessa região. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações de parábolas e cálculo de áreas entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde essas duas curvas se intersectam. Isso vai nos dizer os limites dos valores de que vamos usar para calcular a área. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar os valores de :
Então, as curvas se intersectam quando e .

Passo 4

Com esses valores de , vamos identificar qual das duas curvas está à direita da outra no intervalo de a . Para isso, vamos escolher um valor de dentro desse intervalo, por exemplo, , e calcular os valores de :
Para :
Isso mostra que, quando , a segunda curva ( ) está à direita da primeira ( ).

Passo 5

Agora, vamos entender o formato das curvas. Ambas são parábolas abertas ao longo do eixo :
  • é uma parábola que se abre para a esquerda.
  • também é uma parábola que se abre para a esquerda, mas com seu vértice deslocado para .
Vamos esboçar essas curvas no plano cartesiano para visualizar a região limitada entre elas.

Passo 6

Com as curvas esboçadas e sabendo que elas se intersectam em e , podemos configurar a integral para encontrar a área entre elas. A fórmula para a área entre duas curvas em relação a é:
Á
Onde e , e .

Passo 7

Vamos montar a integral utilizando os valores identificados:
Á

Passo 8

Agora, vamos calcular essa integral:
Á
Substituindo os limites de integração:
Para :
Para :

Passo 9

Agora, vamos calcular a diferença entre os valores obtidos:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades de área.

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(a)
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