Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo. sumn=0^infty n(x+2)^n3^n+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e também o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de essa série realmente “funciona” e soma para um número finito. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a série de uma maneira mais simples para facilitar os cálculos. Observe que:
n(x+2)^n3^n+1 = n3 ( x+23 )^n
Então, nossa série fica:
sumn=0^infty n3 ( x+23 )^n
Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo com os termos da série.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , calculamos o limite:
an+1 = n+13 ( x+23 )^n+1
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Nesse caso, nosso é . Vamos calcular :

Passo 4

Vamos agora montar a fração an+1an = n+13 ( x+23 )^n+1n3 ( x+23 )^n = n+1n cdot x+23 :
an+1an = (1 + 1n) cdot x+23
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | (1 + 1n) cdot x+23 | = | x+23 | quando tende ao infinito:
Porque .

Passo 6

Para que a série converja, precisamos que | x+23 | < 1 :
|x + 2| < 3
Vamos resolver essa desigualdade:
-3 < x + 2 < 3
Isso significa que:
-5 < x < 1
Subtraindo 2 de todas as partes:

Resposta

O raio de convergência da série é 3 e o intervalo de convergência é .

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