Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e também o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de essa série realmente “funciona” e soma para um número finito. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para analisar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma maneira mais simples para facilitar os cálculos. Observe que:
Então, nossa série fica:
Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo com os termos da série.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Nesse caso, nosso é . Vamos calcular :
Passo 4
Vamos agora montar a fração :
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Porque .
Passo 6
Para que a série converja, precisamos que :
Vamos resolver essa desigualdade:
Isso significa que:
Subtraindo 2 de todas as partes:
Resposta
O raio de convergência da série é 3 e o intervalo de convergência é .