Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências: . Nosso objetivo é descobrir qual é o raio de convergência dessa série e também o intervalo de convergência, ou seja, para quais valores de essa série realmente “funciona” e soma para um número finito. Para isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta bem útil para analisar a convergência de séries.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a série de uma maneira mais simples para facilitar os cálculos. Observe que:
Então, nossa série fica:
Isso ajuda a visualizar melhor o que está acontecendo com os termos da série.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência. Esse teste nos diz que, para uma série , calculamos o limite:
Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.