Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
(a)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e o domínio . O objetivo é mostrar que essa função é diferenciável em todo o seu domínio usando o Lema Fundamental. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de diferenciabilidade e como aplicar o Lema Fundamental nesse contexto.

Passo 2

Vamos começar verificando se as derivadas parciais de existem e são contínuas em . As derivadas parciais são necessárias para calcular o diferencial da função.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais. As funções e são polinômios em e , e polinômios são funções contínuas em todo .

Passo 5

Como as derivadas parciais de existem e são contínuas em , podemos aplicar o Lema Fundamental, que nos diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.

Passo 6

Portanto, já que mostramos que e existem e são contínuas para qualquer em , concluímos que a função é diferenciável em todo o seu domínio .

Resposta

A função é diferenciável em conforme demonstrado usando o Lema Fundamental.

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