Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
(a)
(a)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e o domínio
. O objetivo é mostrar que essa função é diferenciável em todo o seu domínio usando o Lema Fundamental. Para isso, vamos precisar conhecer o conceito de diferenciabilidade e como aplicar o Lema Fundamental nesse contexto.
Passo 2
Vamos começar verificando se as derivadas parciais de
existem e são contínuas em
. As derivadas parciais são necessárias para calcular o diferencial da função.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade dessas derivadas parciais. As funções
e
são polinômios em
e
, e polinômios são funções contínuas em todo
.
Passo 5
Como as derivadas parciais de
existem e são contínuas em
, podemos aplicar o Lema Fundamental, que nos diz que se as derivadas parciais de uma função existem e são contínuas em um ponto, então a função é diferenciável nesse ponto.
Passo 6
Portanto, já que mostramos que
e
existem e são contínuas para qualquer
em
, concluímos que a função
é diferenciável em todo o seu domínio
.
Resposta
A função
é diferenciável em
conforme demonstrado usando o Lema Fundamental.
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