lim x infty(raiz4 x^4+2-raiz4 x^4+8)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma diferença entre duas raízes quadradas quando tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para ficar mais claro:
lim x infty(raiz4 x^4+2 - raiz4 x^4+8)
Queremos descobrir qual valor essa expressão se aproxima quando fica muito, muito grande.

Passo 3

Para simplificar, vamos utilizar uma técnica chamada racionalização. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão por algo que ajude a eliminar as raízes. No caso de diferenças de raízes, multiplicamos pela soma das raízes. Então, multiplicamos e dividimos por (raiz4 x^4+2 - raiz4 x^4+8) times raiz4x^4 + 2 + raiz4x^4 + 8raiz4x^4 + 2 + raiz4x^4 + 8 :

Passo 4

Ao fazer essa multiplicação, usamos a identidade (4x^4 + 2) - (4x^4 + 8)raiz4x^4 + 2 + raiz4x^4 + 8 . Aplicando isso:
4x^4 + 2 - 4x^4 - 8 = -6
Simplificando o numerador:
-6raiz4x^4 + 2 + raiz4x^4 + 8
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o denominador quando raiz4x^4 + 2 approx raiz4x^4 = 2x^2 tende ao infinito. Note que raiz4x^4 + 8 approx raiz4x^4 = 2x^2 é muito maior que 2 ou 8 quando 2x^2 + 2x^2 = 4x^2 é grande, então podemos aproximar as raízes:
Portanto, a soma das raízes no denominador fica aproximadamente:

Passo 6

Substituindo essa aproximação na nossa expressão, temos:
-64x^2
Isso simplifica para:
-32x^2

Passo 7

Finalmente, observamos o comportamento dessa fração quando lim x infty -32x^2 = 0 tende ao infinito. Como cresce sem limites, tende a zero:

Resposta

O limite é igual a 0.

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