Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma diferença entre duas raízes quadradas quando
tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e aplicar propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o limite para ficar mais claro:
Queremos descobrir qual valor essa expressão se aproxima quando
fica muito, muito grande.
Passo 3
Para simplificar, vamos utilizar uma técnica chamada racionalização. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão por algo que ajude a eliminar as raízes. No caso de diferenças de raízes, multiplicamos pela soma das raízes. Então, multiplicamos e dividimos por
:
Passo 4
Ao fazer essa multiplicação, usamos a identidade
. Aplicando isso:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos analisar o denominador quando
tende ao infinito. Note que
é muito maior que 2 ou 8 quando
é grande, então podemos aproximar as raízes:
Portanto, a soma das raízes no denominador fica aproximadamente:
Passo 6
Substituindo essa aproximação na nossa expressão, temos:
Isso simplifica para:
Passo 7
Finalmente, observamos o comportamento dessa fração quando
tende ao infinito. Como
cresce sem limites,
tende a zero:
Resposta
O limite é igual a 0.
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Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(e)
(e)