Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite de uma diferença entre duas raízes quadradas quando tende ao infinito. A matéria envolvida aqui é Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções que envolvem raízes quadradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como simplificar expressões com raízes e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o limite para ficar mais claro:
Queremos descobrir qual valor essa expressão se aproxima quando fica muito, muito grande.

Passo 3

Para simplificar, vamos utilizar uma técnica chamada racionalização. Isso significa que vamos multiplicar e dividir a expressão por algo que ajude a eliminar as raízes. No caso de diferenças de raízes, multiplicamos pela soma das raízes. Então, multiplicamos e dividimos por :

Passo 4

Ao fazer essa multiplicação, usamos a identidade . Aplicando isso:
Simplificando o numerador:
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, vamos analisar o denominador quando tende ao infinito. Note que é muito maior que 2 ou 8 quando é grande, então podemos aproximar as raízes:
Portanto, a soma das raízes no denominador fica aproximadamente:

Passo 6

Substituindo essa aproximação na nossa expressão, temos:
Isso simplifica para:

Passo 7

Finalmente, observamos o comportamento dessa fração quando tende ao infinito. Como cresce sem limites, tende a zero:

Resposta

O limite é igual a 0.

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Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(e)