Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(f) tg^2(x) + cos^2(x) = sec^2(x) - sen^2(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que é igual a . Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas. Vamos precisar lembrar como expressar tangente e secante em termos de seno e cosseno, e também usar a identidade fundamental .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever tg^2(x) em termos de seno e cosseno. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, substituímos tg^2(x) na expressão à esquerda:
Para somar essas frações, vamos igualar os denominadores:

Passo 4

Vamos agora trabalhar com a expressão à direita, . Sabemos que , então:
Substituindo na expressão:

Passo 5

Vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
Esquerda:
Direita:
Para mostrar que são iguais, vamos simplificar a expressão da esquerda:
Sabemos que , então podemos reescrever como :
Usando a identidade fundamental:
Substituindo de volta na expressão da esquerda:
Que é exatamente a expressão da direita!

Resposta

Portanto, demonstramos que é uma identidade verdadeira.

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