Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente quer mostrar que
é igual a
. Para isso, vamos usar algumas identidades trigonométricas básicas. Vamos precisar lembrar como expressar tangente e secante em termos de seno e cosseno, e também usar a identidade fundamental
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever
em termos de seno e cosseno. Sabemos que
, então:
Passo 3
Agora, substituímos
na expressão à esquerda:
Para somar essas frações, vamos igualar os denominadores:
Passo 4
Vamos agora trabalhar com a expressão à direita,
. Sabemos que
, então:
Substituindo na expressão:
Passo 5
Vamos comparar as duas expressões que obtivemos:
Esquerda:
Direita:
Para mostrar que são iguais, vamos simplificar a expressão da esquerda:
Sabemos que
, então podemos reescrever
como
:
Usando a identidade fundamental:
Substituindo de volta na expressão da esquerda:
Que é exatamente a expressão da direita!
Resposta
Portanto, demonstramos que
é uma identidade verdadeira.