lim x infty(raiz4 x^4+2-raiz5 x^4+8)

Passo 1

Vamos resolver o limite quando tende ao infinito da expressão . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites envolvendo funções radicais. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão usando técnicas de álgebra e propriedades dos limites.

Passo 2

Primeiro, observamos que os termos dentro das raízes são polinômios de quarto grau. Quando raiz4x^4 + 2 = raizx^4(4 + 2x^4) = x^2raiz4 + 2x^4 tende ao infinito, os termos de maior grau dominam. Portanto, podemos fatorar raiz5x^4 + 8 = raizx^4(5 + 8x^4) = x^2raiz5 + 8x^4 de cada radicando:

Passo 3

Agora, substituímos essas expressões de volta no limite:
limx to infty ( x^2raiz4 + 2x^4 - x^2raiz5 + 8x^4 )
Podemos fatorar x^2 ( raiz4 + 2x^4 - raiz5 + 8x^4 ) :

Passo 4

Para simplificar a diferença das raízes, multiplicamos e dividimos pela conjugada:
( raiz4 + 2x^4 - raiz5 + 8x^4 ) cdot raiz4 + 2x^4 + raiz5 + 8x^4raiz4 + 2x^4 + raiz5 + 8x^4
Isso simplifica para:
(4 + 2x^4) - (5 + 8x^4)raiz4 + 2x^4 + raiz5 + 8x^4 = -1 - 6x^4raiz4 + 2x^4 + raiz5 + 8x^4

Passo 5

Substituímos de volta no limite:
limx to infty x^2 cdot -1 - 6x^4raiz4 + 2x^4 + raiz5 + 8x^4
À medida que -1raiz4 + raiz5 = -12 + raiz5 tende ao infinito, os termos com tendem a zero:

Passo 6

Portanto, o limite se reduz a:
limx to infty x^2 cdot -12 + raiz5 = -12 + raiz5 cdot limx to infty x^2
Como , multiplicamos um número negativo por infinito, o que resulta em:

Resposta

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