14)
Passo 1
Vamos resolver o limite quando tende ao infinito da expressão . Aqui, estamos trabalhando com cálculo de limites envolvendo funções radicais. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão usando técnicas de álgebra e propriedades dos limites.
Passo 2
Primeiro, observamos que os termos dentro das raízes são polinômios de quarto grau. Quando tende ao infinito, os termos de maior grau dominam. Portanto, podemos fatorar de cada radicando:
Passo 3
Agora, substituímos essas expressões de volta no limite:
Podemos fatorar :
Passo 4
Para simplificar a diferença das raízes, multiplicamos e dividimos pela conjugada:
Isso simplifica para:
Passo 5
Substituímos de volta no limite:
À medida que tende ao infinito, os termos com tendem a zero:
Passo 6
Portanto, o limite se reduz a:
Como , multiplicamos um número negativo por infinito, o que resulta em:
Resposta
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Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(d)
12)
Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(e)
13)