[13] (Modificado de Montgomery & Runger). A vida em horas de um semicondutor a laser, operando em potência constante, tem distribuição N(5000; 250^2.
(a) Calcule e represente graficamente a vida útil em horas que 90 % dos semicondutores excedem;

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um semicondutor a laser cuja vida útil em horas segue uma distribuição normal, indicada por . Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, em horas, 90% desses semicondutores vão durar além desse valor. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições normais e como calcular percentis usando a função de distribuição acumulada.

Passo 2

Primeiro, já sabemos que a vida útil segue uma distribuição normal com média ( ) de 5000 horas e desvio padrão ( ) de 250 horas. A distribuição normal é simétrica e é muito útil para modelar fenômenos naturais.

Passo 3

Para encontrar o valor que 90% dos semicondutores excedem, precisamos achar o percentil 10 dessa distribuição. Isso porque se 90% são acima desse valor, então só 10% estão abaixo.

Passo 4

Vamos usar a fórmula de padronização para transformar nosso valor na distribuição normal padrão ( ):
Queremos encontrar o tal que .

Passo 5

Consultando uma tabela de valores da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos o valor de que corresponde a uma probabilidade acumulada de 0.10. Esse valor é aproximadamente .

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar :
Multiplicando ambos os lados por 250:
Somando 5000 em ambos os lados:

Passo 7

Então, 90% dos semicondutores têm uma vida útil que excede 4680 horas.

Resposta

90% dos semicondutores excedem uma vida útil de 4680 horas.

Gráfico

Distribuição Normal
No gráfico acima, a área à esquerda de 4680 horas representa 10% da distribuição, indicando que 90% excedem esse valor.

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