[13] (Modificado de Montgomery & Runger). A vida em horas de um semicondutor a laser, operando em potência constante, tem distribuição N(5000;
.
(a) Calcule e represente graficamente a vida útil em horas que
dos semicondutores excedem;
(a) Calcule e represente graficamente a vida útil em horas que
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem um semicondutor a laser cuja vida útil em horas segue uma distribuição normal, indicada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir quanto tempo, em horas, 90% desses semicondutores vão durar além desse valor. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre distribuições normais e como calcular percentis usando a função de distribuição acumulada.
Passo 2
Primeiro, já sabemos que a vida útil segue uma distribuição normal com média (
) de 5000 horas e desvio padrão (
) de 250 horas. A distribuição normal é simétrica e é muito útil para modelar fenômenos naturais.
Passo 3
Para encontrar o valor que 90% dos semicondutores excedem, precisamos achar o percentil 10 dessa distribuição. Isso porque se 90% são acima desse valor, então só 10% estão abaixo.
Passo 4
Vamos usar a fórmula de padronização para transformar nosso valor
na distribuição normal padrão (
):
Queremos encontrar o
tal que
.
Passo 5
Consultando uma tabela de valores da distribuição normal padrão ou usando uma calculadora, encontramos o valor de
que corresponde a uma probabilidade acumulada de 0.10. Esse valor é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
:
Multiplicando ambos os lados por 250:
Somando 5000 em ambos os lados:
Passo 7
Então, 90% dos semicondutores têm uma vida útil que excede 4680 horas.
Resposta
90% dos semicondutores excedem uma vida útil de 4680 horas.
Gráfico
No gráfico acima, a área à esquerda de 4680 horas representa 10% da distribuição, indicando que 90% excedem esse valor.
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;
.
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