A v.a. X: Contagem de falhas de suministro de certo fluxo essencial, em um processo industrial, segue um modelo de probabilidades de Poisson, com taxa de 2.5 falhas por trimestre.
[11] (i) Obtenha a distribuição de probabilidades e faca o gráfico para x = 0, 1, ..., 8;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória que conta o número de falhas de fornecimento de um fluxo essencial em um processo industrial. Essa contagem segue uma distribuição de Poisson com uma taxa ( ) de 2.5 falhas por trimestre. O que precisamos fazer aqui é encontrar as probabilidades de ser 0, 1, 2, até 8 falhas e fazer um gráfico com esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço quando esses eventos ocorrem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da função de probabilidade de Poisson é:
Onde:
  • é a taxa média de ocorrências (neste caso, 2.5 falhas por trimestre),
  • é o número de ocorrências que queremos calcular a probabilidade,
  • é a base dos logaritmos naturais (~2.71828).

Passo 3

Agora, vamos calcular as probabilidades para cada valor de de 0 a 8 usando a fórmula da Poisson.
Para :
Para :
E assim por diante, até . Você pode usar uma calculadora ou uma planilha para facilitar os cálculos.

Passo 4

Depois de calcular todas as probabilidades, vamos organizar em uma tabela para facilitar a visualização:
0 0.0821
1 0.2053
2 0.2566
3 0.2138
4 0.1336
5 0.0668
6 0.0278
7 0.0099
8 0.0031

Passo 5

Finalmente, para fazer o gráfico, você pode plotar os valores de no eixo horizontal (de 0 a 8) e as respectivas probabilidades no eixo vertical. Cada par será um ponto no gráfico, e você pode conectar esses pontos para visualizar como as probabilidades se distribuem.

Resposta

A distribuição de probabilidades para de 0 a 8 falhas é:
0 0.0821
1 0.2053
2 0.2566
3 0.2138
4 0.1336
5 0.0668
6 0.0278
7 0.0099
8 0.0031
E o gráfico mostra essas probabilidades ao longo dos valores de de 0 a 8.

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