A v.a. X: Contagem de falhas de suministro de certo fluxo essencial, em um processo industrial, segue um modelo de probabilidades de Poisson, com taxa de 2.5 falhas por trimestre.
[11] (ii) Determine os números de falhas ao redor do número esperado, que concentram pelo menos 90 % de probabilidade;

Passo 1

Beleza, vamos tirar esse exercício de matemática de letra! A questão fala sobre a Distribuição de Poisson, que é usada para contar o número de vezes que um evento acontece em um intervalo fixo de tempo ou espaço. Aqui, estamos contando as falhas de suprimento em um processo industrial, com uma taxa média de 2.5 falhas por trimestre. Nosso objetivo é descobrir quantas falhas, ao redor desse número esperado, vão concentrar pelo menos 90% da probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Distribuição de Poisson. Ela é descrita pela fórmula:
Onde:
  • é a taxa média de ocorrência (neste caso, 2.5 falhas por trimestre).
  • é o número de eventos que queremos encontrar a probabilidade.
  • é a base do logaritmo natural (~2.71828).
Vamos calcular as probabilidades para diferentes valores de até chegarmos a uma soma que seja pelo menos 90%.

Passo 3

Vamos calcular para até encontrarmos a soma acumulada que atinge ou ultrapassa 90%.
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
  4. Para :
  5. Para :
  6. Para :
  7. Para :

Passo 4

Agora, vamos somar essas probabilidades acumuladas até alcançarmos pelo menos 90%:
  • Até :
    (ou 89.12%)
  • Incluindo :
    (ou 95.79%)
Como ao incluir , já passamos de 90%, mas queremos o menor intervalo possível que atinja pelo menos 90%.

Passo 5

Para garantir que temos pelo menos 90% de probabilidade, precisamos considerar até :
  • Até : (ou 98.57%)
Isso já cobre bem mais que os 90% necessários. Porém, para ser mais preciso e encontrar exatamente o intervalo que atinge ou ultrapassa 90%, podemos considerar de até , que já dá aproximadamente 95.79%.

Resposta

O número de falhas que, ao redor do esperado de 2.5 falhas, concentra pelo menos 90% da probabilidade está entre 0 e 5 falhas por trimestre.

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