- Sejam
diferenciável e
.
(a) Calcule
;
(a) Calcule
Passo 1
Este exercício envolve o cálculo de derivadas. Precisamos encontrar a derivada da função
, onde
é uma função diferenciável. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de produtos e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, identificamos que
é o produto de duas funções:
e
. Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.
Passo 3
A regra do produto diz que se
, então a derivada
é:
Passo 4
Vamos calcular
. Como
, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que é utilizada para derivar composições de funções.
Passo 6
A regra da cadeia diz que se
, então a derivada
é:
No nosso caso,
, então
. Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos
e
na fórmula da regra do produto:
Substituindo os valores:
Passo 8
Simplificando a expressão:
Resposta
A derivada de
é: