1. Sejam g diferenciável e f(x) = x * g(x^2).
    (a) Calcule f'(x);

Passo 1

Este exercício envolve o cálculo de derivadas. Precisamos encontrar a derivada da função , onde é uma função diferenciável. Para resolver isso, vamos usar as regras de derivação de produtos e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é o produto de duas funções: e . Quando temos o produto de duas funções, usamos a regra do produto para derivar.

Passo 3

A regra do produto diz que se , então a derivada é:

Passo 4

Vamos calcular . Como , a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Sabemos que . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia, que é utilizada para derivar composições de funções.

Passo 6

A regra da cadeia diz que se , então a derivada é:
No nosso caso, , então . Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos e na fórmula da regra do produto:
Substituindo os valores:

Passo 8

Simplificando a expressão:

Resposta

A derivada de é:

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