Nos exercícios 4 a 10 derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
9. f(x) = { x^3 * sen(1/x^4) se x ≠ 0; 0 se x = 0 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função definida da seguinte forma:
Vamos precisar usar a regra do produto e a derivada da função seno, além de entender como derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar quando . Aqui, temos um produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .

Passo 3

Vamos identificar e :
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos derivar em . Para isso, usamos a definição da derivada:
Sabemos que , então:
E como , pelo teorema do sanduíche:

Resposta

A derivada da função é dada por:

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