Nos exercícios 4 a 10 derive a função (se possível, simplifique antes e/ou depois de derivar).
6. F(u) = (u^3 - 3 u^2) / (u^4 + 1)^(5/2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é derivar a função . Isso significa que vamos encontrar a taxa de variação dessa função em relação a . Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que serve quando temos uma função dividida por outra. Além disso, vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia para derivar a parte que está dentro do parêntese no denominador.

Passo 2

Primeiro, identifique a parte de cima e a parte de baixo da fração. Vamos chamar:
  • (numerador)
  • (denominador)

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se temos , a derivada é:
Então, precisamos encontrar e .

Passo 4

Vamos derivar . Usando a regra do poder:
Isso é simples, aplicamos a derivada termo a termo.

Passo 5

Agora, vamos derivar . Aqui usamos a Regra da Cadeia. Se temos , a derivada é , onde e .
Então:
Simplificando:

Passo 6

Agora que temos e , vamos colocar tudo na fórmula da Regra do Quociente:
Repare que .

Passo 7

Vamos fatorar do numerador:
Simplificando os expoentes:

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro dos colchetes:
Subtraindo:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão de :
Esse é o resultado final da derivada.

Resposta

A derivada de é:

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