Encontre os valores máximos e mínimos locais e globais de f. Justifique sua resposta.
(i) f(x) = |x^2 - 25| ; R

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto globais, da função , onde pode ser qualquer número real ( ). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O módulo (ou valor absoluto) faz com que a função sempre seja positiva ou zero. Isso significa que terá valores iguais para positivo e negativo.

Passo 3

Vamos identificar onde , pois nesses pontos a função muda de comportamento. Resolvendo:
Então, os pontos críticos são e . Esses pontos vão nos ajudar a analisar a função em intervalos diferentes.

Passo 4

Agora, vamos dividir a função em casos sem o valor absoluto para facilitar a derivação:
  1. Para , , então .
  2. Para , , então .

Passo 5

Vamos calcular a derivada de em cada intervalo para encontrar os pontos onde a derivada é zero ou indefinida, que são candidatos a máximos ou mínimos.
  1. Para :
Igualando a zero:
  1. Para :
Igualando a zero:
Mas não está nesse intervalo, então não há pontos críticos aqui.

Passo 6

Vamos analisar o ponto encontrado no intervalo :
Também, vamos verificar os pontos :

Passo 7

Agora, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos:
  • No ponto , a função atinge o valor máximo local de 25.
  • Nos pontos , a função atinge o valor mínimo local de 0.
Como a função tende ao infinito quando vai para , não há máximos globais, mas os mínimos locais são também os mínimos globais.

Resposta

A função possui um máximo local de 25 no ponto e mínimos locais e globais de 0 nos pontos e .

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