Encontre os valores máximos e mínimos locais e globais de . Justifique sua resposta.
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos, tanto locais quanto globais, da função , onde pode ser qualquer número real (). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas e análise de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função . O módulo (ou valor absoluto) faz com que a função sempre seja positiva ou zero. Isso significa que terá valores iguais para positivo e negativo.
Passo 3
Vamos identificar onde , pois nesses pontos a função muda de comportamento. Resolvendo:
Então, os pontos críticos são e . Esses pontos vão nos ajudar a analisar a função em intervalos diferentes.
Passo 4
Agora, vamos dividir a função em casos sem o valor absoluto para facilitar a derivação:
Para , , então .
Para , , então .
Passo 5
Vamos calcular a derivada de em cada intervalo para encontrar os pontos onde a derivada é zero ou indefinida, que são candidatos a máximos ou mínimos.
Para :
Igualando a zero:
Para :
Igualando a zero:
Mas não está nesse intervalo, então não há pontos críticos aqui.
Passo 6
Vamos analisar o ponto encontrado no intervalo :
Também, vamos verificar os pontos :
Passo 7
Agora, vamos determinar se esses pontos são máximos ou mínimos:
No ponto , a função atinge o valor máximo local de 25.
Nos pontos , a função atinge o valor mínimo local de 0.
Como a função tende ao infinito quando vai para , não há máximos globais, mas os mínimos locais são também os mínimos globais.
Resposta
A função possui um máximo local de 25 no ponto e mínimos locais e globais de 0 nos pontos e .