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Sejam T in L(V) e u, v in V autovetores de T associados aos autovalores distintos lambda, mu. Mostre que se a u+b v é autovetor de T, então a=0 ou b=0.

Passo 1

Então, temos um operador linear no espaço vetorial . Sabemos que e são autovetores de com autovalores diferentes e , respectivamente. O objetivo é mostrar que se uma combinação linear também é um autovetor de , então necessariamente ou ou . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovetores, autovalores e propriedades dos operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se T(u) = lambda u é um autovetor de T(v) = mu v com autovalor , então:
Analogamente, para :

Passo 3

Agora, consideramos a combinação linear T(w) = nu w . Queremos que seja também um autovetor de com algum autovalor . Isso significa que:

Passo 4

Aplicando o operador T(w) = T(au + bv) = aT(u) + bT(v) = alambda u + bmu v na combinação , temos:
Por outro lado, .

Passo 5

Igualando as duas expressões para alambda u + bmu v = anu u + bnu v :
a(lambda - nu)u + b(mu - nu)v = 0
Rearranjando termos:

Passo 6

Como a(lambda - nu) = 0 e b(mu - nu) = 0 e são autovetores associados a autovalores distintos ( ) e, portanto, são linearmente independentes, a única solução para a equação acima é:

Passo 7

Isso implica que:
a = 0 ou lambda = nu
e
b = 0 ou mu = nu
Como , não podemos ter . Portanto, para que ambas as equações sejam verdadeiras, precisamos que ou .

Resposta

Portanto, se é um autovetor de , então necessariamente ou .

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