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Sejam e autovetores de associados aos autovalores distintos . Mostre que se é autovetor de , então ou .
Passo 1
Então, temos um operador linear no espaço vetorial . Sabemos que e são autovetores de com autovalores diferentes e , respectivamente. O objetivo é mostrar que se uma combinação linear também é um autovetor de , então necessariamente ou ou . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovetores, autovalores e propriedades dos operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, lembramos que se é um autovetor de com autovalor , então:
Analogamente, para :
Passo 3
Agora, consideramos a combinação linear . Queremos que seja também um autovetor de com algum autovalor . Isso significa que:
Passo 4
Aplicando o operador na combinação , temos:
Por outro lado, .
Passo 5
Igualando as duas expressões para :
Rearranjando termos:
Passo 6
Como e são autovetores associados a autovalores distintos () e, portanto, são linearmente independentes, a única solução para a equação acima é:
Passo 7
Isso implica que:
e
Como , não podemos ter . Portanto, para que ambas as equações sejam verdadeiras, precisamos que ou .
Resposta
Portanto, se é um autovetor de , então necessariamente ou .