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Sejam
e
autovetores de
associados aos autovalores distintos
. Mostre que se
é autovetor de
, então
ou
.
Sejam
Passo 1
Então, temos um operador linear
no espaço vetorial
. Sabemos que
e
são autovetores de
com autovalores diferentes
e
, respectivamente. O objetivo é mostrar que se uma combinação linear
também é um autovetor de
, então necessariamente ou
ou
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovetores, autovalores e propriedades dos operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, lembramos que se
é um autovetor de
com autovalor
, então:
Analogamente, para
:
Passo 3
Agora, consideramos a combinação linear
. Queremos que
seja também um autovetor de
com algum autovalor
. Isso significa que:
Passo 4
Aplicando o operador
na combinação
, temos:
Por outro lado,
.
Passo 5
Igualando as duas expressões para
:
Rearranjando termos:
Passo 6
Como
e
são autovetores associados a autovalores distintos (
) e, portanto, são linearmente independentes, a única solução para a equação acima é:
Passo 7
Isso implica que:
e
Como
, não podemos ter
. Portanto, para que ambas as equações sejam verdadeiras, precisamos que
ou
.
Resposta
Portanto, se
é um autovetor de
, então necessariamente
ou
.