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Sejam e autovetores de associados aos autovalores distintos . Mostre que se é autovetor de , então ou .

Passo 1

Então, temos um operador linear no espaço vetorial . Sabemos que e são autovetores de com autovalores diferentes e , respectivamente. O objetivo é mostrar que se uma combinação linear também é um autovetor de , então necessariamente ou ou . Para resolver isso, vamos usar conceitos de autovetores, autovalores e propriedades dos operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, lembramos que se é um autovetor de com autovalor , então:
Analogamente, para :

Passo 3

Agora, consideramos a combinação linear . Queremos que seja também um autovetor de com algum autovalor . Isso significa que:

Passo 4

Aplicando o operador na combinação , temos:
Por outro lado, .

Passo 5

Igualando as duas expressões para :
Rearranjando termos:

Passo 6

Como e são autovetores associados a autovalores distintos ( ) e, portanto, são linearmente independentes, a única solução para a equação acima é:

Passo 7

Isso implica que:
e
Como , não podemos ter . Portanto, para que ambas as equações sejam verdadeiras, precisamos que ou .

Resposta

Portanto, se é um autovetor de , então necessariamente ou .

Exercícios relacionados

Determine, se existirem, os autovalores e autovetores de em cada caso. Nos casos afirmativos determine o autoespaço generalizado.
(k) .
Dados os vetores e , calcular:
Calcule .
Resolva os sistemas utilizando Regra de Cramer.
Sabendo que e , calcular:
Calcule .